Matematický seminář - doc. E. Kolářová
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Hled´
ame tedy rovnice teˇ
cen dan´
e kˇ
rivky v bodech T1 = [
−2, 0], T2 = [0, 0], T3 = [1, 0].
Pro smˇ
ernici teˇ
cny v libovoln´
em bodˇ
e [x0, y(x0)] plat´ı
k = y0(x0).
Protoˇ
ze
y0(x) = 3x
2 + 2x − 2,
dostaneme
k = y0(x0) = 3x
2
0 + 2x0 − 2.
Smˇ
ernice teˇ
cen uvaˇ
zovan´
e kˇ
rivky v bodech T1, T2, T3 jsou
k1 = y0(
−2) = 6,
k2 = y0(0) =
−2,
k3 = y0(1) = 3.
Po dosazen´ı do rovnice teˇ
cny y
− f(x0) = f0(x0)(x − x0) obdrˇz´ıme
pro T1 = [
−2, 0] a k1 = 6 : y = 6(x + 2) tj. 6x − y + 12 = 0
T2 = [0, 0], k2 =
−2 : y = −2x tj. 2x + y = 0
T3 = [1, 0], k3 = 3 : y = 3(x
− 1) tj. 3x − y − 3 = 0.
Matematick´
y semin´
aˇ
r
68
y = f(x)
–2
2
4
6
y
–3
–2
–1
1
2
3
x
Obr´
azek 9.3: Teˇ
cny ke kˇrivce y = x3 + x2
− 2x v jejich pr˚
useˇ
c´ıc´ıch s osou x
9.3
L´Hospitalovo pravidlo
K aplikac´ım diferenci´
aln´ıho poˇ
ctu patˇr´ı metoda v´
ypoˇ
ctu limit pomoc´ı derivac´ı.
Vyjadˇruje ji l´Hospitalovo pravidlo:
Necht’ funkce f, g maj´ı v bodˇ
e x0
∈ R funkˇcn´ı hodnoty f(x0) = g(x0) = 0 a necht’
existuje lim
x
→x0
f 0(x)
g0(x)
. Potom existuje tak´
e lim
x
→x0
f (x)
g(x)
a plat´ı
lim
x
→x0
f 0(x)
g0(x)
= lim
x
→x0
f (x)
g(x)
.
Pozn´
amka. L´Hospitalovo pravidlo plat´ı i v pˇr´ıpadˇ
e, kdy funkce f a g maj´ı v bodˇ
e
x0
∈ R nevlastn´ı limitu, tzn. plat´ı:
Jestliˇ
ze limx→x
0 f (x) = limx
→x0 g(x) = ±∞ a existuje
lim
x
→x0
f 0(x)
g0(x)
, potom existuje tak´
e
lim
x
→x0
f (x)
g(x)
a plat´ı
lim
x
→x0
f 0(x)
g0(x)
= lim
x
→x0
f (x)
g(x)
.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
69
Pˇ
r´ıklad 9.6 Uˇ
zit´ım l´Hospitalova pravidla vypoˇ
ctˇ
ete limity funkc´ı:
a) lim
x
→0
sin 2x
sin 5x