Matematický seminář - doc. E. Kolářová
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
b) lim
x
→∞
ln x
x2 + 6
c) lim
x
→−1
x3 + 1
x5 + 1
ˇ
Reˇ
sen´ı:
a) lim
x
→0
sin 2x
sin 5x
= lim
x
→0
(sin 2x)0
(sin 5x)0
= lim
x
→0
2 cos 2x
5 cos 5x
=
2 cos 0
5 cos 0
=
2
5
.
b) lim
x
→∞
ln x
x2 + 6
= lim
x
→∞
(ln x)0
(x2 + 6)0
= lim
x
→∞
1
x
2x
= lim
x
→∞
1
2
·
1
x2
=
1
2
· 0 = 0
c) lim
x
→−1
x3 + 1
x5 + 1
= lim
x
→−1
(x3 + 1)0
(x5 + 1)0
= lim
x
→−1
3x2
5x4
=
3
5
Pˇ
r´ıklad 9.7 Vypoˇ
ctˇ
ete derivace funkc´ı:
a) y = πx
3 − 7x
b) y = e
x(x2 − 1)
c) y =
x + 5
x2
d) y =
x
− 2
x + 2
[a) 3πx2
− 7, b) e
x(x2 + 2x − 1), c) (−x − 10)/x3, d) 4/(x + 2)2]
Pˇ
r´ıklad 9.8 Urˇ
cete derivaci funkc´ı:
a) y =
√
sin x
b) y =
1
2
(x
− sin x cos x)
c) y = e
sin x
d) y = cos e
x
[a) cos x/2
√
sin x, b) sin
2 x, c) esin x cos x, d) − ex sin ex]
Pˇ
r´ıklad 9.9 Urˇ
cete rovnici teˇ
cny ke grafu funkce f : y =
x2
− 2x
x2
− 4
v bodˇ
e T = [1, ?].
[2x
− 9y + 1 = 0]
Pˇ
r´ıklad 9.10 Urˇ
cete rovnice teˇ
cen ke kˇ
rivce y = x3 + x2
− 6x v jejich pr˚
useˇ
c´ıc´ıch s
osou x.
[15x
− y + 45 = 0, 6x + y = 0, 10x − y − 20 = 0]
Pˇ
r´ıklad 9.11 Uˇ
zit´ım l´Hospitalova pravidla vypoˇ
ctˇ
ete limity funkc´ı:
a) lim
x
→0
sin 8x
3x
b) lim
x
→∞
2x
− 7x
2
x2 + 6
c) lim
x
→−1
x + 1
√
x + 5
− 2
[a) 8/3, b)
− 7, c) 4]
Matematick´
y semin´
aˇ
r
70
10
Goniometrick´
e funkce
10.1
Obloukov´
a m´ıra
V matematice, ve fyzice a v technick´
e praxi se pouˇ
z´ıv´
a na urˇ
cov´
an´ı velikosti ´
uhlu tzv.
obloukov´
a m´ıra.
Je d´
an ´
uhel ABC. Sestroj´ıme kruˇ
znici se stˇredem v bodˇ
e B, (ve vrcholu ´
uhlu). Jestliˇ
ze
r je polomˇ
er kruˇ
znice a s je d´
elka oblouku kruˇ
znice uvnitˇr ´
uhlu ABC, potom velikost