Matematický seminář - doc. E. Kolářová
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
d) Pˇ
ri derivov´
an´ı t´
eto funkce pouˇ
zijeme vzorec pro derivov´
an´ı pod´ılu.
y0 =
(x
− 1) − (x + 1)
(x
− 1)2
=
−2
(x
− 1)2
Vzorec pro derivaci sloˇ
zen´
e funkce
Jestliˇ
ze je d´
ana funkce F : y = f (g(x)) , pˇriˇ
cemˇ
z vnitˇrn´ı funkce g m´
a derivaci v kaˇ
zd´
em
bodˇ
e x
∈ M a vnˇejˇs´ı funkce f m´a derivaci f0 v kaˇzd´em odpov´ıdaj´ıc´ım bodˇe u = g(x),
pak sloˇ
zen´
a funkce F = f
◦ g m´a derivaci F 0 v kaˇzd´em bodˇe x ∈ M, pro niˇz plat´ı:
F 0(x) = f 0(u)g0(x).
Pˇ
r´ıklad 9.4 Vypoˇ
ctˇ
ete derivace funkc´ı:
a) y = ln(x2
− 8)
b) y = ex sin
2 x
c) y = ln
x+1
x
−1
ˇ
Reˇ
sen´ı:
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
67
a) y0 =
1
x2
− 8
· (2x − 0) =
2x
x2
− 8
b) y0 = e
x sin2 x + ex2 sin x cos x = ex sin x (sin x + 2 cos x)
c) y0 =
1
x+1
x
−1
(x
− 1) − (x + 1)
(x
− 1)2
=
x
− 1
x + 1
·
−2
(x
− 1)2
=
−2
(x
− 1)(x + 1)
=
−2
x2
− 1
Vzorec pro derivaci inverzn´ı funkce
Jestliˇ
ze funkce f −1 : y = f −1(x), x
∈ (a1, b1), je inverzn´ı funkce k funkci f : y =
f (x), x
∈ (a2, b2), kter´a je na intervalu (a2, b2) spojit´a a ryze monotonn´ı a m´a na nˇem
nenulovou derivaci f 0, pak tak´
e inverzn´ı funkce m´
a na intervalu (a1, b1) derivaci (f −
1)0,
pˇriˇ
cemˇ
z plat´ı:
(f −
1)0(x) =
1
f 0(f −1(x))
.
Pˇ
r´ıklad 9.5 Urˇ
cete rovnice teˇ
cen ke kˇ
rivce y = x3 + x2
− 2x v jejich pr˚
useˇ
c´ıc´ıch s osou
x.
ˇ
Reˇ
sen´ı:
Pr˚
useˇ
c´ıky dan´
e kˇ
rivky s osou
x urˇ
c´ıme ˇ
reˇ
sen´ım rovnice
x3 + x2
− 2x = 0. Rovnici
pˇ
revedeme na souˇ
cinov´
y tvar
x(x
− 1)(x + 2) = 0
a dostaneme koˇ
reny x1 =
−2, x2 = 0, x3 = 1.