Matematický seminář - doc. E. Kolářová

2x

− 5

x

− 1

definovan´

a, mus´ı b´

yt x

6= 1.

M˚

uˇ

zeme tedy ps´

at, ˇ

ze D(f ) = (

−∞, 1) ∪ (1, ∞).

Funkce f je line´

arn´ı lomen´

a funkce, a je i prost´

a (grafem t´

eto funkce je hyperbola).

Pro v´

ypoˇ

cet inverzn´ı funkce zamˇ

en´ıme v zad´

an´ı funkce x a y.

f −

1 : x =

2y

− 5

y

− 1

⇒

x(y

− 1) = 2y − 5 ⇒ xy − x = 2y − 5 ⇒ xy − 2y = x − 5 ⇒ y(x − 2) = x − 5

f −

1 : y =

x

− 5

x

− 2

Pro definiˇ

cn´ı obor inverzn´ı funkce plat´ı, ˇ

ze x

6= 2.

D(f −

1) = (−∞, 2) ∪ (2, ∞) = H(f),

a pro obor hodnot inverzn´ı funkce plat´ı, ˇ

ze

H(f −

1) = D(f) = (−∞, 1) ∪ (1, ∞).

Matematick´

y semin´

aˇ

r

58

8.3

Limita a spojitost funkce

Funkce jedn´

e promˇ

enn´

e f : y = f (x) m´

a v bodˇ

e a

∈ R limitu L ∈ R jestliˇze v pˇr´ıpadˇe,

kdy se hodnota x bl´ıˇ

z´ı k ˇ

c´ıslu a funkˇ

cn´ı hodnoty f (x) se bl´ıˇ

z´ı k hodnotˇ

e (limitˇ

e) L.

K vyj´

adˇren´ı bl´ızkosti dvou bod˚

u x, a

∈ R pouˇz´ıv´ame v matematice pojem okol´ı bodu.

r-okol´ım bodu a (a, r

∈ R, r > 0) oznaˇcovan´ym U(a; r) se rozum´ı otevˇren´y interval

U (a; r) = (a

− r, a + r)

ˇ

C´ıslo r > 0 se naz´

yva polomˇ

er okol´ı U (a; r). M´ısto U (a; r) se nˇ

ekdy p´ıˇse U (a),

pokud hodnota polomˇ

eru okol´ı nen´ı v dan´

e situaci podstatn´

a.

ˇ

R´ık´

ame, ˇ

ze funkce f m´

a v bodˇ

e a

∈ R limitu L ∈ R,

pr´

avˇ

e kdyˇ

z ke kaˇ

zd´

emu

libovolnˇ

e zvolen´

emu ε-okol´ı U (L; ε) bodu L existuje δ-okol´ı U (a; δ) bodu a takov´

e,

ˇ

ze pro vˇsechna x

6= a z U(a; δ) pˇr´ısluˇsn´e hodnoty f(x) jsou ve zvolen´em okol´ı U(L; ε).