Matematický seminář - doc. E. Kolářová
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Symbolicky pak p´ıˇseme: lim
x
→a
f (x) = L.
Symbolick´
y z´
apis definice vlastn´ı limity funkce ve vlastn´ım bodˇ
e:
lim
x
→a
f (x) = L
⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D(f) : x ∈ U(a; δ) ⇒ f(x) ∈ U(L; ε).
Plat´ı, ˇ
ze funkce f m´
a v bodˇ
e a nejv´
yˇse jednu limitu.
Kaˇ
zd´
a z´
akladn´ı elelment´
arn´ı funkce f m´
a v kaˇ
zd´
em bodˇ
e definiˇ
cn´ıho oboru D(f ) limitu
rovnou funkˇ
cn´ı hodnotˇ
e v tomto bodˇ
e.
Vˇ
eta o limitˇ
e souˇ
ctu, rozd´ılu, souˇ
cinu a pod´ılu funkc´ı.
Maj´ı-li funkce f, g v bodˇ
e a
∈ R limity, tj. existuj´ı-li limity lim
x
→a
f (x) a lim
x
→a
g(x), pak
maj´ı v tomto bodˇ
e limity i funkce f + g, f
− g, fg, cf kde c ∈ R je konstanta , a je-li
lim
x
→a
g(x)
6= 0, tak´e funkce
f
g
a plat´ı:
lim
x
→a
(f (x) + g(x)) = lim
x
→a
f (x) + lim
x
→a
g(x)
lim
x
→a
(f (x)
− g(x)) = lim
x
→a
f (x)
− lim
x
→a
g(x)
lim
x
→a
(f (x)
· g(x)) = lim
x
→a
f (x)
· lim
x
→a
g(x)
lim
x
→a
(c
· f(x)) = c · lim
x
→a
f (x)
lim
x
→a
f (x)
g(x)
=
limx→a f(x)
limx→a g(x)
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
59
Pˇ
r´ıklad 8.4 Urˇ
cete limity funkc´ı:
a) lim
x
→1
(x
2 − 5x + 7)
b) lim
x
→0
(1
− cos x)
c) lim
x
→−1
x + 1
x
− 1
ˇ
Reˇ
sen´ı:
a) Funkce f : y = x2
− 5x + 7 je polynomick´a funkce, kter´a je definov´ana na cel´em R,
tedy i v bodˇ
e x = 1. Dostaneme:
lim
x
→1
x
2 − 5x + 7 = 12 − 5 · 1 + 7 = 3
Podobnˇ
e postupujeme i v ˇ
c´
asti b) a c).
b) lim
x
→0
(1
− cos x) = lim
x
→0
1
− lim
x
→0
cos x = 1
− 1 = 0
c) lim
x
→−1
x + 1
x
− 1
=
lim
x
→−1
x + 1
lim
x
→−1
x
− 1
=
−1 + 1
−1 − 1
= 0
Pro v´
ypoˇ
cet limit funkce se ˇ
casto pouˇ