Matematický seminář - doc. E. Kolářová

c´ıme ji f −1.

Plat´ı, ˇ

ze D(f −1) = H(f ) a H(f −1) = D(f ) a x = f −1(y) pr´

avˇ

e kdyˇ

z y = f (x).

Graf inverzn´ı funkce f −1 je soumˇ

ern´

y s grafem funkce f podle pˇr´ımky o rovnici y = x.

Pˇ

r´ıklad 8.2 Urˇ

cete funkci inverzn´ı k funkci f : y = 3x + 2.

ˇ

Reˇ

sen´ı:

Funkce f je line´

arn´ı a je prost´

a.

y = x

–2

–1

1

2

3

y

–2

–1

1

2

3

x

Obr´

azek 8.3: Inverzn´ı funkce k funkci f : y = 3x + 2

Inverzn´ı funkci budeme hledat tak, ˇ

ze zamˇ

en´ıme x a y a z nov´

e rovnice vyj´

adˇ

r´ıme y.

f −1 : x = 3y + 2

Z toho

f −1 : y =

1
3 (x − 2).

Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ

cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ

e

57

Pro definiˇ

cn´ı obor inverzn´ı funkce plat´ı, ˇ

ze D(f −1) = H(f ) = R.

Pˇ

r´ıklad 8.3 Urˇ

cete funkci inverzn´ı k funkc´ım :

a) y = ln(2x + 8)

b) y =

2x

− 5

x

− 1

ˇ

Reˇ

sen´ı:

a) Definiˇ

cn´ım oborem funkce bude ˇ

reˇ

sen´ı nerovnice 2x + 8 > 0.

Dostaneme D(f ) = (

−4, ∞).

Funkce f je logaritmick´

a funkce sloˇ

zen´

a s line´

arn´ı. Je to funkce sloˇ

zen´

a ze dvou prost´

ych

funkc´ı, tedy je i f prost´

a funkce.

Zamˇ

en´ıme x a y a z t´

eto nov´

e rovnice vyj´

adˇ

r´ıme y.

f −

1 : x = ln(2y + 8)

Inverzn´ı funkce k logaritmick´

e funkci je exponenci´

aln´ı funkce. Aplikujeme tedy exponenci´

aln´ı

funkci na obˇ

e strany rovnice a dostaneme:

e

x = 2y + 8

e

x − 8 = 2y

Proto inverzn´ı funkce k funkci f : y = ln(2x + 8) je funkce

f −

1 : y =

ex

− 8

2

Pro definiˇ

cn´ı obor inverzn´ı funkce plat´ı, ˇ

ze

D(f −

1) = R,

a pro obor hodnot inverzn´ı funkce plat´ı, ˇ

ze

H(f −

1) = D(f) = (−4, ∞).

b) Aby byla funkce y =