Matematický seminář - doc. E. Kolářová
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
zije tato vˇ
eta:
Jestliˇ
ze pro dvˇ
e funkce f, g plat´ı, ˇ
ze pro vˇsechna x
6= a z jist´eho okol´ı bodu a je
f (x) = g(x), potom lim
x
→a
f (x) existuje, pr´
avˇ
e kdyˇ
z existuje lim
x
→a
g(x) a plat´ı
lim
x
→a
f (x) = lim
x
→a
g(x).
Pˇ
r´ıklad 8.5 Urˇ
cete limity n´
asleduj´ıc´ıch funkc´ı:
a) lim
x
→1
x2 + x
− 2
x
− 1
b) lim
x
→0
tg x + sin x
sin x
c) lim
x
→−5
2
−
√
x + 9
x + 5
ˇ
Reˇ
sen´ı:
a) Funkce f : y =
x2 + x
− 2
x
− 1
nen´ı v bodˇ
e x = 1 definov´
ana. M˚
uˇ
zeme vˇ
sak v R
− {1}
prov´
est n´
asleduj´ıc´ı ´
upravu:
f (x) =
x2 + x
− 2
x
− 1
=
(x
− 1)(x + 2)
x
− 1
= x + 2 = g(x)
Danou limitu pak vypoˇ
cteme uˇ
zit´ım posledn´ı vˇ
ety:
lim
x
→1
x2 + x
− 2
x
− 1
= lim
x
→1
(x
− 1)(x + 2)
x
− 1
= lim
x
→1
(x + 2) = 1 + 2 = 3
Matematick´
y semin´
aˇ
r
60
b)
lim
x
→0
tg x + sin x
sin x
= lim
x
→0
sin x
cos x + sin x
sin x
= lim
x
→0
sin x(
1
cos x + 1)
sin x
= lim
x
→0
(
1
cos x
+ 1) =
1
1
+ 1 = 2
c) Lomen´
y v´
yraz rozˇ
s´ıˇ
r´ıme dvojˇ
clenem 2 +
√
x + 9.
lim
x
→−5
2
−
√
x + 9
x + 5
= lim
x
→−5
2
−
√
x + 9
x + 5
·
2 +
√
x + 9
2 +
√
x + 9
= lim
x
→−5
4
− (x + 9)
(x + 5)(2 +
√
x + 9)
=
lim
x
→−5
−(x + 5)
(x + 5)(2 +
√
x + 9)
= lim
x
→−5
−1
2 +
√
x + 9
=
−1
2 +
√
−5 + 9
=
−1
4
ˇ
R´ık´
ame, ˇ
ze funkce f, kter´
a je definovan´
a v okol´ı bodu a
∈ R je spojit´
a v bodˇ
e a,
pr´
avˇ
e kdyˇ
z existuje lim
x
→a
f (x) a plat´ı
lim
x
→a
f (x) = f (a).
L
a
–2
–1
0
1
2
1
2
3
Obr´
azek 8.4: Spojit´
a funkce v bodˇ
e a
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
61
a
–2
–1
0
1
2
y
1
2
3
x
Obr´
azek 8.5: Funkce nen´ı v bodˇ
e a spojit´
a, m´
a v tomto bodˇ