Matematický seminář - doc. E. Kolářová
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
65
9.2
V´
ypoˇ
cet derivace
Tabulka 9.1: Vzorce pro derivace element´
arn´ıch funkc´ı
Funkce f
Vzorec pro derivaci funkce f
Podm´ınky platnosti vzorce
y = c, (c
∈ R)
c0 = 0
x
∈ (−∞, ∞)
y = xn, n
∈ N
(xn)
0 = nxn−1
x
∈ (−∞, ∞)
y = xr, r
∈ R,
(xr)
0 = rxr−1
x
∈ (0, ∞)
y = ex
(ex)0 = ex
x
∈ (−∞, ∞)
y = ax
(ax)0 = ax ln a
x
∈ (−∞, ∞)
y = ln x
(ln x)0 =
1
x
x
∈ (0, ∞)
y = sin x
(sin x)0 = cos x
x
∈ (−∞, ∞)
y = cos x
(cos x)0 =
− sin x
x
∈ (−∞, ∞)
y = tg x
(tg x)0 =
1
(cos x)2
x
6= (2k + 1)
π
2 , k ∈ Z
y = cotg x
(cotg x)0 =
−
1
(sin x)2
x
6= kπ, k ∈ Z
Pˇ
r´ıklad 9.2 Zderivujte funkce :
a) y =
1
x3
b) y =
√
x
ˇ
Reˇ
sen´ı:
a) y =
1
x3
= x−
3 ⇒ y0 = (−3)x−4 = −
3
x4
b) y0 = (x
1
2
)0 =
1
2
x−
1
2
=
1
2
√
x
Matematick´
y semin´
aˇ
r
66
Vzorce pro derivaci souˇ
ctu, rozd´ılu, souˇ
cinu a pod´ılu funkce
Jestliˇ
ze funkce f : u = f (x), g : v = g(x) maj´ı derivaci v kaˇ
zd´
em bodˇ
e x
∈ M , pak plat´ı
n´
asleduj´ıci vzorce pro vˇsechna x
∈ M (u pod´ılu za pˇredpokladu, ˇze g(x) 6= 0):
(u + v)0 = u0 + v0
(u
− v)0 = u0 − v0
(uv)0 = u0v + uv0
(cu)0 = cu0, c
∈ R
(
u
v
)0 =
u0v
− uv0
v2
, v
6= 0
Pˇ
r´ıklad 9.3 Vypoˇ
ctˇ
ete v pˇ
r´ıpustn´
ych bodech derivace funkc´ı dan´
ych pˇ
redpisy:
a) y = 5x4
− 6e
x
b) y = 6x2
−
√
x
c) y = (x
− 1)(x
2 + 3x − 5) d) y =
x + 1
x
− 1
ˇ
Reˇ
sen´ı:
a) y0 = 20x3
− 6e
x
b) y0 = 12x
−
1
2
1
√
x
c) Pˇ
ri derivov´
an´ı t´
eto funkce pouˇ
zijeme vzorec pro derivov´
an´ı souˇ
cinu.
y0 = (x2 + 3x
− 5) + (x − 1)(2x + 3) = x
2 + 3x − 5 + 2x2 + 3x − 2x − 3 = 3x2 + 4x − 8