Matematický seminář - doc. E. Kolářová

tohoto ´

uhlu je

s
r radi´

an˚

u.

∠ABC =

s

r

rad.

Toto ˇ

c´ıslo nez´

avis´ı na polomˇ

eru kruˇ

znice.

B

s

r

C

A

Pˇ

r´ıklad 10.1 Vyj´

adˇ

rete ´

uhel 15◦ v obloukov´

e m´ıˇ

re.

ˇ

Reˇ

sen´ı:

Kruˇ

znice m´

a d´

elku 2πr a velikost ´

uhlu 360◦ v radi´

anech je

2πr

r

= 2π.

Z toho 1◦ =

2π

360

=

π

180

radi´

an˚

u.

Tedy 15◦ = 15

·

π

180

=

π

12

.

D´

ale budeme pracovat s orientovan´

ymi ´

uhly. Orientovan´

y ´

uhel si m˚

uˇ

zeme pˇredstavit

jako poˇ

c´

ateˇ

cn´ı a koncovou polohu polopˇr´ımky (nejl´

epe kladn´

e poloosy Ox) ot´

aˇ

cej´ıc´ı se

kolem sv´

eho poˇ

c´

atku a to v jednom ze dvou navz´

ajem opaˇ

cn´

ych smysl˚

u. Bud’ proti po-

hybu hodinov´

ych ruˇ

ciˇ

cek, tak dostaneme kladn´

e ´

uhly (napˇr.

π

2 , 6π, atd), nebo ve smˇ

eru

hodinov´

ych ruˇ

ciˇ

cek a tak dostaneme z´

aporn´

e ´

uhly (napˇr.

−

π

12 , −4π, atd).

Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ

cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ

e

71

10.2

Goniometrick´

e funkce

V kart´

ezsk´

e souˇradnicov´

e soustavˇ

e sestrojme kruˇ

znici o stˇredu v poˇ

c´

atku a polomˇ

eru 1.

Uvaˇ

zujme orientovan´

y ´

uhel o velikosti ψ radi´

an˚

u jehoˇ

z vrchol je v poˇ

c´

atku a poˇ

c´

ateˇ

cn´ı

rameno kladn´

a poloosa x. Druh´

e rameno protne kruˇ

znici v bodˇ

e P. Potom definujeme

kosinus ´

uhlu ψ jako x-ovou souˇradnici bodu P. Oznaˇ

cujeme cos ψ.

Podobnˇ

e y-ov´

a souˇradnice bodu P se naz´

yv´

a sinus ´

uhlu ψ. Oznaˇ

cujeme sin ψ.

Obˇ

e funkce jsou periodick´

e, jejich nejmenˇs´ı perioda je 2π.

Definiˇ

cn´ım oborem obou funkc´ı je R, oborem hodnot je

h−1; 1i.

Grafem je sinusoida (kosinusoida).

Snadno se d´

a uk´

azat, ˇ

ze pro kaˇ

zd´

e x

∈ R plat´ı cos x = sin

x +

π

2

.

–1

1

0

y

x

y = sin x

–1

1

0

y

x

y = cos x

Funkce f : y = sin x,

∀x ∈ R je lich´a: sin(−x) = − sin x.

Funkce f : y = cos x,