Matematický seminář - doc. E. Kolářová
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
1
∓ tg x · tg y
Pˇ
r´ıklad 10.3 Vypoˇ
c´ıtejte cos
5
12
π.
ˇ
Reˇ
sen´ı:
cos
5
12
π = cos
π
4
+
π
6
= cos
π
4
cos
π
6
− sin
π
4
sin
π
6
√
2
2
√
3
2
−
√
2
2
1
2
=
√
6
−
√
2
4
Pˇ
r´ıklad 10.4 Vypoˇ
ctˇ
ete hodnoty funkc´ı cos α, sin(2α), tg (2α), sin
α
2 ,
jestliˇ
ze
sin α =
3
5 ,
0 < α <
π
2 .
ˇ
Reˇ
sen´ı:
| cos α| = cos α =
p
1
− sin
2 α =
r
1
−
9
25
=
4
5
sin(2α) = 2 sin α cos α =
2
· 3 · 4
25
=
24
25
cos(2α) = cos
2 α − sin2 α =
16
25
−
9
25
=
7
25
⇒ tg (2α) =
sin(2α)
cos(2α)
=
24
7
0 < α <
π
2
⇒ 0 <
α
2
<
π
4
⇒
sin
α
2
= sin
α
2
=
s
1
−
4
5
2
=
r
1
10
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
75
10.3
Goniometrick´
e rovnice
Goniometrick´
e rovnice jsou rovnice, kter´
e obsahuj´ı nezn´
amou jako argument jedn´
e
nebo nˇ
ekolika goniometrick´
ych funkc´ı.
Pˇ
r´ıklad 10.5 Vyˇ
reˇ
ste v R goniometrick´
e rovnice:
a) 2 sin(3x) =
√
2
b) sin
2 x − cos2 x = 0,5
c) 2 sin
2 x − 5 cos x + 1 = 0
ˇ
Reˇ
sen´ı:
a) Uprav´ıme: sin(3x) =
√
2
2
.
Funkce sinus m´
a kladn´
e hodnoty v I. a II. kvadrantu.
Tedy 3x =
π
4
+ 2kπ
∨
3x =
3
4
π + 2kπ, k
∈ Z. Odtud
x =
π
12
+
2
3
kπ
∨
x =
π
4
+
2
3
kπ, k
∈ Z.
b) Uprav´ıme levou stranu rovnice:
sin
2 x − cos2 x = −(cos2 x − sin2 x) = − cos(2x).
Potom rovnice m´
a tvar
− cos(2x) = 0,5, tzn. cos(2x) = −0,5.
Funkce kosinus m´
a z´
aporn´
e hodnoty v II. a III. kvadrantu.
Potom 2x = π
−
π
3
+ 2kπ
∨
2x = π +
π
3
+ 2kπ, k
∈ Z. Odtud
x =
1
3
π + kπ
∨
x =
2
3
π + kπ, k
∈ Z.
c) Uprav´ıme levou stranu rovnice:
2 sin
2 x − 5 cos x + 1 = 2(1 − cos2 x) − 5 cos x + 1 = −2 cos2 x − 5 cos x + 3
Potom rovnice m´
a tvar
−2 cos
2 x − 5 cos x + 3 = 0 t.j. 2 cos2 x + 5 cos x − 3 = 0.