Matematický seminář - doc. E. Kolářová
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
2 , k ∈ Z
y =
1
(sin x)2
R
1
(sin x)2 dx = −cotg x + c
x
6= kπ, k ∈ Z
Pˇ
r´ıklad 11.3 Vypoˇ
ctˇ
ete integr´
aly:
a)
R (2x + 1) dx
b)
R (5x4 − sin x) dx
c)
R √x3 dx
d)
R 3(ex + 2
√
x) dx
ˇ
Reˇ
sen´ı:
a)
R (2x + 1)dx = 2 R x dx + R 1 dx = 2x
2
2 + x + c = x
2 + x + c
b)
R 5x4 − sin x dx = 5 R x4 dx − R sin x dx = 5
x5
5
− (− cos x) + c = x
5 + cos x + c
Matematick´
y semin´
aˇ
r
80
c)
R √x3 dx = R x
3
2
dx =
1
3
2 + 1
x
3
2
+1 + c =
2
5
x
5
2
+ c =
2
5
p
(x5) + c
d)
R 3(ex + 2
√
x) dx =
R (3ex + 6
√
x) dx = 3
R exdx + 6 R
√
x dx =
3e
x + 6
1
1
2 + 1
x
3
2
+ c = 3e
x + 6
2
3
√
x3 + c = 3e
x + 4
√
x3 + c
Pˇ
r´ıklad 11.4 Vypoˇ
ctˇ
ete integr´
aly:
a)
Z
dx
sin
2 x cos2 x
b)
Z
x + 1
√
x
dx
c)
Z
tg x
sin 2x
dx
ˇ
Reˇ
sen´ı:
a) Funkci, kterou chceme integrovat nejdˇ
r´ıve uprav´ıme. Vyuˇ
zijeme vztah
sin
2 x + cos2 x = 1.
Potom m˚
uˇ
zeme ps´
at
Z
dx
sin
2 x cos2 x
=
Z
sin
2 x + cos2 x
sin
2 x cos2 x
dx =
Z
sin
2 x
sin
2 x cos2 x
dx +
Z
cos2 x
sin
2 x cos2 x
dx =
Z
1
cos2 x
dx +
Z
1
sin
2 x
dx = tg x
− cotg x + c
b)
Z
x + 1
√
x
dx =
Z
x
√
x
dx +
Z
1
√
x
dx =
Z
√
x dx +
Z
1
√
x
dx =
Z
x
1
2
dx +
Z
x−
1
2
dx =
2
3
x
3
2
+ 2x
1
2
+ c =
2
3
√
x3 + 2
√
x + c
c)
Z
tg x
sin 2x
dx =
Z
sin x
cos x
2 sin x cos x
dx =
Z
sin x
2 sin x cos2 x
dx =
Z
1
2 cos2 x
dx =
1
2
tg x + c
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
81
11.2
Urˇ
cit´
y integr´
al
Geometrick´
y v´
yznam urˇ
cit´
eho integr´
alu
Mˇ
ejme nez´
apornou spojitou funkci f na < a, b > . Obsah obrazce ohraniˇ
cen´
eho grafem
b
y = f(x)
a
0
1
2
3
y
0.5
1
1.5
2
x
Obr´
azek 11.1: Urˇ
cit´
y integr´
al z nez´