Matematický seminář - doc. E. Kolářová

c´ıslem k ˇ

c´ıslu z = a + ib.

Pˇri dˇ

elen´ı komplexn´ıch ˇ

c´ısel vyuˇ

z´ıv´

ame komplexnˇ

e sdruˇ

zen´

e ˇ

c´ıslo jmenovatele:

a + ib

c + id

=

a + ib

c + id

·

c

− id

c

− id

=

ac + bd

c2 + d2

+ i

bc

− ad

c2 + d2

a + ib, c + id

∈ C, c, d 6= 0

Pˇ

r´ıklad 12.2 Vyj´

adˇ

rete v algebraick´

em tvaru komplexn´ı ˇ

c´ıslo

2 + i

1

− i

.

ˇ

Reˇ

sen´ı:

2 + i

1

− i

=

2 + i

1

− i

·

1 + i

1 + i

=

2 + 2i + i + i2

1

− i2

=

2

− 1 + 3i

1

− (−1)

=

1

2

+

3

2

i

Komplexn´ı ˇ

c´ısla zjednoduˇsujeme podle pravidel:

i

2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i, . . . ,

to znamen´

a, ˇ

ze pro kaˇ

zd´

e k

∈ Z je

i

4k = 1, i4k+1 = i, i4k+2 = −1, i4k+3 = −i.

Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ

cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ

e

87

Pˇ

r´ıklad 12.3 Vypoˇ

c´ıtejte i + i3 + i5 + i7 + i9.

ˇ

Reˇ

sen´ı:

i + i

3 + i5 + i7 + i9 = i + i2i + i4i + i4i3 + (i4)

2

i = i

− i + i − i + i = i

Absolutn´ı hodnotou komplexn´ıho ˇ

c´ısla a + ib naz´

yv´

ame nez´

aporn´

e ˇ

c´ıslo

√

a2 + b2,

|z| =

√

a2 + b2 =

√

z

· z.

Komplexn´ı ˇ

c´ıslo z, pro kter´

e je

|z| = 1 naz´yv´ame komplexn´ı jednotkou.

Komplexn´ı rovina (Gaussova rovina komplexn´ıch ˇ

c´ısel) je rovina s kart´

ezsk´

ym syst´

emem

souˇradnic, ve kter´

e je kaˇ

zd´

e komplexn´ı ˇ

c´ıslo a + ib zn´

azornˇ

eno bodem [a; b].

Absolutn´ı hodnota ˇ

c´ısla z = a + ib se potom rovn´

a vzd´

alenosti bodu [a; b] od poˇ

c´

atku.

Absolutn´ı hodnota rozd´ılu dvou komplexn´ıch ˇ

c´ısel se rovn´

a jejich vzd´

alenosti v komplexn´ı

rovinˇ

e.

12.2

Goniometrick´

y tvar komplexn´ıho ˇ

c´ısla

´

Uhel ϕ - orientovan´

y ´

uhel mezi kladnou ˇ

c´

ast´ı osy x a polopˇr´ımkou spojuj´ıc´ı bod [0; 0] s