Matematický seminář - doc. E. Kolářová

−10 + (n − 1) · 4,5. Z toho n = 19.

Je-li an = 100, pak 100 =

−10 + (n − 1) · 4,5. Z toho n =

229

9 .

ˇ

Clenem aritmetick´

e posloupnosti

{an} je pouze ˇc´ıslo 71.

Pˇ

r´ıklad 13.6 V aritmetick´

e posloupnosti je

a) a6 = 18, d =

−2. Vypoˇc´ıtejte a9.

b) a16 = 20, d = 1,5. Vypoˇc´ıtejte a1.

c) a1 = 12,6, d = 0,2, an = 27,4. Urˇcete n.

ˇ

Reˇ

sen´ı:

a) as = ar + (s

− r)d ⇒ a9 = a6 + 3d = 18 − 6 = 12

b) a16 = a1 + 15d

⇒ a1 = a16 − 15d = −2,5

c) an = a1 + (n

− 1)d ⇒ n =

an

−a1

d

+ 1 = 75

Pˇ

r´ıklad 13.7 Vypoˇ

c´ıtejte souˇ

cet vˇ

sech pˇ

rirozen´

ych ˇ

c´ısel od jedn´

e do 300.

ˇ

Reˇ

sen´ı:

Je a1 = 1, d = 1. Souˇcet S300 =

300

2

(a1 + a300) = 45150.

Posloupnost

{an}∞

1

se naz´

yv´

a geometrick´

a, pr´

avˇ

e kdyˇ

z existuje ˇ

c´ıslo q tak, ˇ

ze pro kaˇ

zd´

e

pˇrirozen´

e n plat´ı:

an+1 = an

· q, neboli

an+1

an

= q pro a1

6= 0, q 6= 0.

ˇ

C´ıslo q se naz´

yv´

a kvocient geometrick´

e posloupnosti.

Matematick´

y semin´

aˇ

r

94

V geometrick´

e posloupnosti

{an}∞

1

s kvocientem q plat´ı pro kaˇ

zd´

e n

∈ N :

an = a1

· q

n

−1

D´

ale jsou-li r, s

∈ N libovoln´a, pak as = ar · q

s

−r.

Pro souˇ

cet Sn prvn´ıch n ˇclen˚

u geometrick´

e posloupnosti plat´ı:

a) pro q = 1 je Sn = n

· a1.

b) pro q

6= 1 je Sn = a1

qn

− 1

q

− 1

.

Pˇ

r´ıklad 13.8 V geometrick´

e posloupnosti je

a) a1 = 18, q = 3. Napiˇste prvn´ıch pˇet ˇclen˚

u.

b) a1 = 4, q = 3. Vypoˇc´ıtejte a5.

c) a6 = 8192, q = 4. Urˇcete a4.

d) a1 = 40, q =

−

1
4 . Vypoˇ

c´ıtejte a5 a S5.

ˇ

Reˇ

sen´ı:

a) an = a1

· q

n

−1 ⇒ 18, 54, 162, 486, 1458

b) a5 = a1

· q