Matematický seminář - doc. E. Kolářová

{an}∞

1

=

{3, 6, 9, 12, 15, . . .}

v´

yˇ

cet prvk˚

u

an+1 = an + 3, a1 = 3

rekurentnˇ

e

an = 3n

vzorec pro n-t´

y ˇ

clen

Pˇ

r´ıklad 13.2 Je dan´

a posloupnost

{an}∞

1 , an = log 3

n. Vyj´adˇrete ji rekurentnˇe.

ˇ

Reˇ

sen´ı:

Pro

∀n ∈ N je an+1 = log 3

n+1 = log 3n · 3 = log 3n + log 3.

Zkoumanou posloupnost lze zapsat

an+1 = an + log 3, a1 = log 3.

Pˇ

r´ıklad 13.3 Posloupnost zadanou rekurentnˇ

e a1 =

−1, an+1 = −an vyj´adˇrete vzorcem

pro n-t´

y ˇ

clen.

ˇ

Reˇ

sen´ı:

{an}∞

1

=

{−1, 1, −1, 1, . . .}. Odtud an = (−1)

n.

Posloupnost

{an}∞

1

se naz´

yv´

a aritmetick´

a, pr´

avˇ

e kdyˇ

z existuje takov´

e ˇ

c´ıslo d (diference),

ˇ

ze pro kaˇ

zd´

e pˇrirozen´

e n plat´ı: an+1 = an + d, neboli an+1

− an = d.

V aritmetick´

e posloupnosti

{an}∞

1

s diferenc´ı d plat´ı pro kaˇ

zd´

e n

∈ N :

an = a1 + (n

− 1)d

D´

ale jsou-li r, s

∈ N libovoln´a, pak as = ar + (s − r)d.

Pro souˇ

cet Sn prvn´ıch n ˇclen˚

u aritmetick´

e posloupnosti lze odvodit:

Sn =

n

2

(a1 + an)

Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ

cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ

e

93

Pˇ

r´ıklad 13.4 Dokaˇ

zte, ˇ

ze posloupnost

{an}∞

1 , an = 2n − 4 je aritmetick´

a. Urˇ

cete difer-

enci.

ˇ

Reˇ

sen´ı:

Mus´ıme dok´

azat existenci ˇ

c´ısla d

∈ R tak, ˇze pro ∀n ∈ N plat´ı an+1 = an + d.

Je an = 2n

− 4, an+1 = 2n − 2 a tedy an+1 − an = 2, ˇcili an+1 = an + 2.

Posloupnost

{2n − 4}∞

1

je aritmetick´

a s diferenc´ı d = 2.

Pˇ

r´ıklad 13.5 Rozhodnˇ

ete, kter´

e z ˇ

c´ısel 71 a 100 je ˇ

clenem aritmetick´

e posloupnosti

{an}∞

1 ,

v n´ıˇ

z a1 =

−10, d = 4,5.

ˇ

Reˇ

sen´ı:

V dan´

e posloupnosti plat´ı an =

−10 + (n − 1) · 4,5.

Je-li an = 71, pak 71 =