Matematický seminář - doc. E. Kolářová

4 = 4 · 34 = 324

c) a4 = a6

· q

4

−6 = 8192 · 4−2 = 512

d) a5 = a1

· q

4 = 40 ·

−

1

4

4

=

5

32

S5 = a1

q5

− 1

q

− 1

=

1025

32

Pˇ

r´ıklad 13.9 Najdˇ

ete geometrickou posloupnost tak, aby

a1 + a3 = 5 a a2 + a4 = 10.

ˇ

Reˇ

sen´ı:

Je tedy

a1 + a1

· q

2 = 5

a1

· q + a1 · q

3 = 10 ⇒

a1(1 + q

2) = 5

a1q(1 + q

2) = 10

Druhou rovnici vydˇ

el´ıme prvn´ı, dostaneme q = 2, a1 = 1.

Pˇ

r´ıklad 13.10 Zjistˇ

ete, na jakou ˇ

c´

astku vzroste vklad a0 Kˇc uloˇzen´

y na vkladn´ı kn´ıˇ

zku na

n let, jestliˇ

ze spoˇ

ritelna pˇ

ripisuje na konci kaˇ

zd´

eho roku p % z ˇ

c´

astky v tom roce uloˇ

zen´

e.

ˇ

Reˇ

sen´ı:

Na konci 1. roku pˇ

rip´ıˇ

se spoˇ

ritelna p % z p˚

uvodnˇ

e vloˇ

zen´

e ˇ

c´

astky a0, takˇze vklad vzroste

na ˇ

c´

astku

a1 = a0 +

p

100

a0 = a0(1 +

p

100

).

Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ

cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ

e

95

Na konci 2. roku pˇ

rip´ıˇ

se k t´

eto ˇ

c´

astce p % z a1, takˇze vklad vzroste na ˇc´

astku

a2 = a1 +

p

100

a1 = a1(1 +

p

100

).

Obdobnˇ

e je tomu v dalˇ

s´ıch letech.

Vklady po pˇ

rips´

an´ı ´

urok˚

u v jednotliv´

ych letech tvoˇ

r´ı zˇ

rejmˇ

e geometrickou posloupnost s

kvocientem q = 1 +

p

100 a s prvn´

ım ˇ

clenem a1 = a0q. Tedy podle vzorce an = a1q

n

−1

dostaneme, ˇ

ze ˇ

c´

astka a0 Kˇc pˇri p-procentn´ım sloˇzen´em ´

urokov´

an´ı vzroste po n-letech na

ˇ

c´

astku an Kˇc, kde

an = a1

1 +

p

100

n

−1

= a0

1 +

p

100

n

.

13.2

Nekoneˇ

cn´

a geometrick´

a ˇ

rada

Necht’

{an}∞

1

je geometrick´

a posloupnost, pro jej´ıˇ

z kvocient q plat´ı

|q| < 1.

Pak posloupnost

{Sn}∞

1 , Sn = a1 + a2 + ... + an, je konvergentn´

ı a plat´ı:

lim

n

→∞

Sn =

a1

1

− q

Takto dost´

av´

ame nekoneˇ

cnou geometrickou ˇ