Matematický seminář - doc. E. Kolářová
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
radu
a1 + a1q + a1q
2 + . . . + a
1q
n
−1 + . . . =
a1
1
− q
.
Pˇ
r´ıklad 13.11 Seˇ
ctˇ
ete geometrickou ˇ
radu:
a) 1
−
√
2
2
+
1
2
−
√
2
4
+ . . .
b) 1 + cos2 x + cos4 x + . . .
ˇ
Reˇ
sen´ı:
a) Je a1 = 1, q =
a2
a1
=
−
√
2
2
.
D´
ale
|q| =
√
2
2
< 1, ˇ
rada konverguje a
S =
a1
1
− q
=
1
1 +
√
2
2
= 2
−
√
2.
b) Je a1 = 1, q = cos
2 x.
Pro
| cos
2 x| < 1 ⇒ | cos x| < 1 ⇒ x 6= kπ ˇrada konverguje,
S =
1
1
− cos2 x
=
1
sin
2 x
.
Matematick´
y semin´
aˇ
r
96
Pˇ
r´ıklad 13.12 Pˇ
reved’te na zlomek ˇ
c´ıslo 8,4.
ˇ
Reˇ
sen´ı:
8,4 = 8 +
4
10
+
4
100
+
4
1000
+ . . .
|
{z
}
a1 =
4
10 , q =
1
10
= 8 +
4
10
1
−
1
10
= 8 +
4
9
=
76
9
.
Jin´
e ˇ
reˇ
sen´ı:
Na jedn´
e stranˇ
e plat´ı, ˇ
ze 10
· 8,4 − 8,4 = 9 · 8,4.
Na druh´
e stranˇ
e je 10
· 8,4 − 8,4 = 9 · 8,4 = 84,4 − 8,4 = 76
Potom 9
· 8,4 = 76.
Je tedy 8,4 =
76
9 .
Pˇ
r´ıklad 13.13 Z´
avitnice byla sestrojena ze ˇ
ctvrtkruˇ
znic polomˇ
eru r,
r
2
,
r
4
,
r
8
, . . . .
Vypoˇ
c´ıtejte jej´ı d´
elku.
ˇ
Reˇ
sen´ı:
d =
1
4
(2πr + 2π
r
2
+ 2π
r
4
+ 2π
r
8
. . .) =
2πr
4
(1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+ . . .) =
πr
2
1
1
−
1
2
= πr.
Pˇ
r´ıklad 13.14 V aritmetick´
e posloupnosti je
a) a5 = 8, a8 =
−10. Vypoˇc´ıtejte a20.
b) a10 = 23, a16 = 15. Vypoˇc´ıtejte a1.
c) a1 = 15, S25 = 75. Urˇcete d.
d) a1 = 450, an = 210, d =
−24. Vypoˇc´ıtejte n a Sn.
e) an = 47, Sn = 245, d = 5. Vypoˇc´ıtejte a1 a n.
[a)
− 82, b) 35, c) − 1, d) 11, 3630 e) 2, 10]
Pˇ
r´
ıklad 13.15 Ve kter´
e aritmetick´
e posloupnosti je a1 + a5 = 30, a3 + a4 = 36?
[a1 = 3, d = 6]
Pˇ
r´ıklad 13.16 Kolik ˇ
clen˚
u aritmetick´
e posloupnosti, ve kter´