Matematický seminář - doc. E. Kolářová
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
u
v
=
1
3
(cos
5
6
π + i sin
5
6
π) =
1
3
(
−
√
3
2
+
1
2
i) =
−
√
3
6
+
1
6
i
Podobnˇ
e dostaneme podle Moivreovy vˇ
ety:
u
3 = 8(cos π + i sin π) = 8(−1) = −8
12.4
ˇ
Reˇ
sen´ı binomick´
ych rovnic v C
Binomickou rovnici se naz´
yv´
a rovnice tvaru zn
− a = 0, kde a je dan´e komplexn´ı ˇc´ıslo,
z je nezn´
am´
a a n > 1 je ˇ
c´ıslo pˇrirozen´
e. Tato rovnice m´
a v oboru komplexn´ıch ˇ
c´ısel pr´
avˇ
e
n r˚
uzn´
ych koˇren˚
u. ˇ
Reˇsit binomickou rovnici v C znamen´
a vyuˇ
zit´ım Moivreovy vˇ
ety naj´ıt
vˇsech n komplexn´ıch ˇreˇsen´ı t´
eto rovnice. Abychom mohli vyuˇ
z´ıvat vzoreˇ
cek na ˇreˇsen´ı t´
eto
rovnice, je vhodn´
e v tomto pˇr´ıpadˇ
e zabezpeˇ
cit jednoznaˇ
cnost goniometrick´
eho vyj´
adˇren´ı
tak, ˇ
ze bereme argument z intervalu
h0; 2π).
Potom podle d˚
usledku Moivreovy vˇ
ety dostaneme ˇreˇsen´ı ve tvaru:
zk =
|a|
1
n
(cos
ϕ + 2kπ
n
+ i sin
ϕ + 2kπ
n
), n
∈ N, k = 0, 1, . . . n − 1
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
89
Pˇ
r´ıklad 12.6 V C ˇ
reˇ
ste rovnici z3 + 27 = 0.
ˇ
Reˇ
sen´ı:
Uprav´ıme na z3 =
−27. Napiˇsme rovnici v goniometrick´em tvaru:
z =
|z|(cos ϕ + i sin ϕ)
−27 = 27(cos π + i sin π) = 27(cos(π + 2kπ) + i sin(π + 2kπ))
Z Moivreovy vˇ
ety dostaneme ˇ
reˇ
sen´ı
z =
√
27(cos
π + 2kπ
3
+ i sin
π + 2kπ
3
), k = 0, 1, 2.
⇒ z1 = 3(
1
2
+ i
√
3
2
) =
3
2
+ i
3
√
3
2
z2 = 3(cos π + i sin π) =
−3
z3 = 3(cos
5π
3
+ i sin
5π
3
) = 3(
1
2
− i
√
3
2
) =
3
2
− i
3
√
3
2
Pˇ
r´ıklad 12.7 Vypoˇ
c´ıtejte:
a) (2
− 3i)(4 + i)
b) (1 + i)i
c) (
−1 + i)−
2
d) (
−i)
27
e) i2000
f ) 5
− 8i + 6i
2 − 3i3 + 6i4
[a) 11
− 10i; b) − 1 + i; c) i/2; d) i; e) 1; f) 5 − 5i]