Matematický seminář - doc. E. Kolářová
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
bodem [a; b] se naz´
yv´
a argumentem komplexn´ıho ˇ
c´ısla z = a + ib. Plat´ı, ˇ
ze
cos ϕ =
a
√
a2 + b2
sin ϕ =
b
√
a2 + b2
.
Odtud dostaneme, ˇ
ze
a =
|z| cos ϕ
b =
|z| sin ϕ.
Z´
apis nenulov´
eho komplexn´ıho ˇ
c´ısla z ve tvaru
z =
|z|(cos ϕ + i sin ϕ)
naz´
yv´
ame goniometrick´
ym tvarem komplexn´ıho ˇ
c´ısla z .
Omez´ıme-li se na
−π < ϕ ≤ π (ev. 0 ≤ ϕ < 2π), je toto ˇc´ıslo urˇceno jednoznaˇcnˇe.
Pˇ
r´ıklad 12.4 Zapiˇ
ste v goniometrick´
em tvaru ˇ
c´ıslo z = 2 + 2i.
ˇ
Reˇ
sen´ı:
|z| =
√
22 + 22 =
√
8
sin ϕ =
2
√
8
=
2
2
√
2
=
1
√
2
=
√
2
2
cos ϕ =
2
√
8
=
√
2
2
Takˇ
ze ϕ =
π
4 + 2kπ a ϕ ∈ (−π; πi, potom ϕ =
π
4 .
Tedy :
2 + 2i =
√
8(cos
π
4
+ i sin
π
4
)
Matematick´
y semin´
aˇ
r
88
12.3
Moivreova vˇ
eta
Vyj´
adˇren´ı komplexn´ıch ˇ
c´ısel v goniometrick´
em tvaru podstatnˇ
e zjednoduˇsuje v´
ypoˇ
cty
spojen´
e s n´
asoben´ım a dˇ
elen´ım komplexn´ıch ˇ
c´ısel. Pro kaˇ
zd´
a dvˇ
e nenulov´
a komplexn´ı
ˇ
c´ısla u =
|u|(cos α + i sin α) a v = |v|(cos β + i sin β) plat´ı:
uv =
|u| · |v|(cos (α + β) + i sin (α + β))
a
u
v
=
|u|
|v|
(cos (α
− β) + i sin (α − β)).
Pro umocˇ
nov´
an´ı plat´ı Moivreova vˇ
eta:
z
n = (|z|(cos ϕ + i sin ϕ))n = |z|
n(cos nϕ + i sin nϕ), n ∈ N
Pˇ
r´ıklad 12.5 Vypoˇ
ctˇ
ete uv, u/v a u3, jestliˇ
ze
u = 2(cos
1
3
π + i sin
1
3
π)
v = 6(cos (
−
1
2
π) + i sin (
−
1
2
π)).
ˇ
Reˇ
sen´ı:
Absolutn´ı hodnota souˇ
cinu je 2
· 6 = 12 a argument
1
3 π + (−
1
2 π) = −
1
6 π.
Proto
uv = 12(cos (
−
1
6
π) + i sin (
−
1
6
π)) = 12(
√
3
2
−
1
2
i) = 6
√
3
− 6i
Absolutn´ı hodnota pod´ılu je
2
6 =
1
3 a argument
1
3 π − (−
1
2 π) =
5
6 π. Tedy