Matematický seminář - doc. E. Kolářová
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
aporn´
e funkce y = f (x) na < a, b >
funkce f, osou x a rovnobˇ
eˇ
zkami s osou y veden´
ymi body a, b m˚
uˇ
zeme spoˇ
c´ıtat pomoc´ı
urˇ
cit´
eho integr´
alu:
P =
Z
b
a
f (x) dx = F (b)
− F (a)
kde funkce F je primitivn´ı funkc´ı k f na < a, b >.
Podle stejn´
eho vzorce m˚
uˇ
zeme spoˇ
c´ıtat urˇ
cit´
y integr´
al z libovoln´
e spojit´
e funkce (ne nutnˇ
e
nez´
aporn´
e) na < a, b > .
Tento vztah se naz´
yva Newton-Leibnitz˚
uv vzorec:
Z
b
a
f (x) dx = F (b)
− F (a),
kde
F 0(x) = f (x), x
∈< a, b >
Pˇ
r´ıklad 11.5 Uˇ
zit´ım Newton - Leibnitzova vzorce vypoˇ
ctˇ
ete:
a)
R 1
0 (2x − x
2) dx
b)
R π
0 sin x dx
c)
R 2π
0
sin x dx
d)
R π
π
2
cos x dx
ˇ
Reˇ
sen´ı:
a) Nejdˇ
r´ıv spoˇ
c´ıt´
ame primitivn´ı funkci k funkci f (x) = (2x
− x
2).
Matematick´
y semin´
aˇ
r
82
Dostaneme F (x) =
R (2x − x2) dx = x2 −
x3
3 + c.
Potom podle Newton - Leibnitzova vzorce
Z
1
0
(2x
− x
2) dx = [x2 −
x3
3
+ c]
1
0 = (1 −
1
3
+ c)
− (0 − 0 + c) = (
2
3
+ c)
− c =
2
3
Vid´ıme, ˇ
ze integraˇ
cn´ı konstantu c pˇ
ri v´
ypoˇ
ctu urˇ
cit´
eho integr´
alu v bodˇ
e b pˇ
riˇ
cteme a v
bodˇ
e a zase odeˇ
cteme, proto ji d´
ale nebudem ps´
at.
b)
R π
0 sin x dx = [− cos x]
π
0 = (− cos π) − (− cos 0) = −(−1) + 1 = 2
c)
R 2π
0
sin x dx = [
− cos x]
2π
0
= (
− cos 2π) − (− cos 0) = −1 + 1 = 0
d)
R π
π
2
cos x dx = [sin x]ππ
2
= sin π
− sin
π
2 = 0 − 1 = −1
Vlastnosti urˇ
cit´
eho integr´
alu.
Vˇ
eta o line´
arnosti urˇ
cit´
eho integr´
alu.
Necht’ f, g jsou spojit´
e na intervalu < a, b >, a c a d jsou libovoln´
e re´
aln´
e konstanty. Pak