Matematický seminář - doc. E. Kolářová
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
− x
2
a osou x
kladn´
a. Obsah oblasti mezi parabolou a osou x m˚
uˇ
zeme spoˇ
c´ıtat jako urˇ
cit´
y integr´
al.
P =
Z
4
0
(4x
− x
2) dx = [2x2 −
1
3
x
3]4
0 = 2.16 −
1
3
64 =
96
− 64
3
=
32
3
j
2
Matematick´
y semin´
aˇ
r
84
Necht’ pro spojit´
e funkce f a g na intervalu < a, b > plat´ı, ˇ
ze g(x) < f (x) na (a, b). Potom
obsah element´
arn´
e oblasti:
a
≤ x ≤ b
g(x)
≤ y ≤ f(x)
m˚
uˇ
zeme poˇ
c´ıtat jako urˇ
cit´
y integr´
al
P =
Z
b
a
(f (x)
− g(x)) dx.
Pˇ
r´ıklad 11.9 Vypoˇ
c´ıtejte:
a.)
R 2π
0
cos x dx
b.) Obsah oblasti ohraniˇ
cen´
e funkc´ı y = cos x, pˇ
r´ımkami x = 0, x = 2π a osou x.
ˇ
Reˇ
sen´ı:
a.)
Z
2π
0
cos x dx = [sin x]
2π
0
= sin(2π)
− sin 0 = 0
y = cos(x)
–1
–0.5
0
0.5
1
y
1
2
3
4
5
6
7
x
Obr´
azek 11.3: y = cos(x) na < 0, 2π >
b.) Poˇ
c´ıt´
ame obsah vyˇ
srafovan´
e oblasti z obr´
azku. Vid´ıme, ˇ
ze P = P1 + P2 + P3, kde
P1 =
Z
π
2
0
cos x dx = [sin x]
π
2
0 = sin
π
2
= 1
P2 =
Z
3π
2
π
2
− cos x dx = [− sin x]
3π
2
π
2
=
− sin
3π
2
+ sin
π
2
= 2
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
85
P3 =
Z
π
3π
2
cos x dx = [sin x]
π
3π
2
= sin 2π
− sin
3π
2
= 1
Dostaneme P = 1 + 2 + 1 = 4
Pˇ
r´ıklad 11.10 Vypoˇ
ctˇ
ete integr´
aly:
a)
Z
3x
2 + 2x − 4 dx
b)
Z
√
x3
−
1
√
x
dx
c)
Z
x(x
− 2)(x − 3) dx
[a) x3 + x2
− 4x + c b) 2
√
x5/5
− 2
√
x + c c) x4/4
− 5x
3/3 + 3x2 + c]
Pˇ
r´ıklad 11.11 Funkce nejdˇ
r´ıve upravte a potom vypoˇ
ctˇ
ete n´
asleduj´ıc´ı integr´
aly:
a)
Z
5 cos x
− 6e
x2x dx
b)
Z
tg
2x dx
c)
Z
1 + cos
2 x
2
− sin
2 x
2
dx
[a) 5 sin x
− 6(e
x2x)/ ln(2e) + c b) tg x − x + c c) x + sin x + c]
Pˇ
r´ıklad 11.12 Uˇ
zit´ım Newton - Leibnitzova vzorce vypoˇ