Matematický seminář - doc. E. Kolářová
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
ych ˇ
c´ısel 42.
Pˇ
r´ıklad 14.2 Zmenˇ
s´ıme-li poˇ
cet prvk˚
u o dva, zmenˇ
s´ı se poˇ
cet permutac´ı dvacetkr´
at.
Urˇ
cete p˚
uvodn´ı poˇ
cet prvk˚
u!
ˇ
Reˇ
sen´ı:
P (n) = n!, P (n
− 2) = (n − 2)! ⇒ n! = 20(n − 2)! ⇒ n(n − 1) = 20 ⇒
n2
− n − 20 = 0 ⇒ (n − 5)(n + 4) = 0
ˇ
C´ıslo n je pˇ
rirozen´
e, proto p˚
uvodn´ı poˇ
cet prvk˚
u n = 5.
Variace k-t´
e tˇ
r´ıdy z n prvk˚
u dan´
e z´
akladn´ı n-prvkov´
e mnoˇ
ziny (0
≤ k ≤ n) je kaˇzd´a
uspoˇr´
adan´
a k-tice r˚
uzn´
ych prvk˚
u, vybran´
a ze z´
akladn´ı n-prvkov´
e mnoˇ
ziny tak, ˇ
ze z´
aleˇ
z´ı
na poˇrad´ı prvk˚
u (a prvky se neopakuj´ı).
Pro poˇ
cet Vk(n) vˇsech tˇechto variac´ı plat´ı:
Vk(n) = n(n
− 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)
|
{z
}
kˇ
cinitel˚
u
=
n!
(n
− k)!
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
99
Pˇ
r´ıklad 14.3 Kolika zp˚
usoby m˚
uˇ
ze b´
yt odmˇ
enˇ
eno zlatou, stˇ
r´ıbrnou nebo bronzovou medail´ı
13 ´
uˇ
castn´ık˚
u sportovn´ı soutˇ
eˇ
ze?
ˇ
Reˇ
sen´ı:
Ze 13 sportovc˚
u vyb´ır´
ame 3, z´
aleˇ
z´ı na poˇ
rad´ı - jedn´
a se o variace.
V3(13) =
13!
10!
= 11
· 12 · 13 = 1716
Pˇ
r´ıklad 14.4 Pro kolik prvk˚
u je pomˇ
er variac´ı druh´
e tˇ
r´ıdy ku poˇ
ctu variac´ı tˇ
ret´ı tˇ
r´ıdy
roven 1:20.
ˇ
Reˇ
sen´ı:
V2(n) : V3(n) = 1 : 20
⇒
n!
(n
− 2)!
:
n!
(n
− 3)!
= 1 : 20
⇒
1
n
− 2
=
1
20
⇒
n = 22
Kombinace k-t´
e tˇ
r´ıdy z n prvk˚
u dan´
e z´
akladn´ı n-prvkov´
e mnoˇ
ziny (0
≤ k ≤ n) je
kaˇ
zd´
a k-tice r˚
uzn´
ych prvk˚
u, vybran´
a ze z´
akladn´ı n-prvkov´
e mnoˇ
ziny tak, ˇ
ze nez´
aleˇ
z´ı na
poˇrad´ı prvk˚
u (a prvky se neopakuj´ı).
Pro poˇ
cet Ck(n) vˇsech tˇechto kombinac´ı plat´ı:
Ck(n) =
n(n
− 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)