Matematický seminář - doc. E. Kolářová

ame ji

derivac´ı funkce f v bodˇ

e x0. Znaˇc´ıme ji f 0(x0).

M´

a-li funkce f derivaci v kaˇ

zd´

em bodˇ

e x jist´

e mnoˇ

ziny M, potom funkci

f 0 : y = f 0(x), x

∈ M

naz´

yv´

ame derivac´ı funkce f na mnoˇ

zinˇ

e M.

Geometrick´

y v´

yznam derivace

Derivace funkce f 0(x0) pˇredstavuje geometricky smˇernici teˇcny ke grafu funkce v bodˇe
[x0, f (x0)]. Existuje-li v bodˇe x0 derivace funkce f, pak teˇcna ke grafu funkce f v bodˇe
[x0, f (x0)] m´

a rovnici

y

− f(x0) = f0(x0)(x − x0).

f(x)

y0

x0

–1

0

1

2

3

4

–1

1

2

3

4

5

Obr´

azek 9.1: Geometrick´

y v´

yznam derivace

Matematick´

y semin´

aˇ

r

64

Pˇ

r´ıklad 9.1 Urˇ

cete rovnici teˇ

cny ke kˇ

rivce y = x2

− 1 v bodˇe [2, 3] .

ˇ

Reˇ

sen´ı:

t

y = f(x)

–1

0

1

2

3

y

–2

–1

1

2

x

Obr´

azek 9.2: Teˇ

cna ke kˇrivce y = x2

− 1 v bodˇe [2, 3]

Pro smˇ

ernici teˇ

cny v bodˇ

e [2, 3] plat´ı

k = y0(2) = lim

x

→2

x2

− 1 − 3

(x

− 2)

= lim

x

→2

(x

− 2)(x + 2)

(x

− 2)

= 4.

Po dosazen´ı do rovnice teˇ

cny y

− f(x0) = f0(x0)(x − x0) obdrˇz´ıme

y

− 3 = 4(x − 2)

tj.

4x

− y − 5 = 0.

Fyzik´

aln´ı v´

yznam derivace

Je-li d´

ana funkˇ

cn´ı z´

avislost hodnot nˇ

ejak´

e fyzik´

aln´ı veliˇ

ciny na ˇ

case, pak jej´ı derivace

vyjadˇruje okamˇ

zitou rychlost zmˇ

eny hodnot t´

eto veliˇ

ciny.

Necht’ s = s(t) je rovnice dr´

ahy pˇr´ımoˇ

car´

eho pohybu hmotn´

eho bodu, pˇriˇ

cemˇ

z t znaˇ

c´ı

ˇ

cas mˇ

eˇren´

y od jist´

eho poˇ

c´

ateˇ

cn´ıho okamˇ

ziku a s znaˇ

c´ı dr´

ahu, kterou hmotn´

y bod urazil

po pˇr´ımce od zvolen´

eho poˇ

c´

ateˇ

cn´ıho bodu.

Derivace dr´

ahy s(t) podle ˇ

casu t pro t = t0 definuje okamˇzitou rychlost pohybu

hmotn´

eho bodu v ˇ

case t0.

v(t0) = s0(t0) = lim

t

→t0

s(t)

− s(t0)

t

− t0

.

Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ