bpc-mod_03-Numericke_metody
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
= x(t) + hf (t, x(t)) + h
2 1
2
f ′
(η, x(η))
t ≤ η ≤ t
+ h
■ výpoˇcet jednoho kroku Eulerovou metodou
x
(0)
n
+1 = xn + hf (tn, xn)
■ chyba jednoho kroku
∆
(0)
n
+1 = ch
2
Modelování a simulace
Numerické metody - str. 13/18
Princip volby kroku
■ Taylorova ˇrada
x
(t + h) = x(t) + h ˙x(t) + h
2 1
2
¨
x
(t) + h
3 1
6
...
x
(t) + . . . =
= x(t) + hf (t, x(t)) + h
2 1
2
f ′
(t, x(t)) + h
3 1
6
f ′′
(t, x(t)) + . . . =
= x(t) + hf (t, x(t)) + h
2 1
2
f ′
(η, x(η))
t ≤ η ≤ t
+ h
■ výpoˇcet jednoho kroku Eulerovou metodou
x
(0)
n
+1 = xn + hf (tn, xn)
■ chyba jednoho kroku
∆
(0)
n
+1 = ch
2
■ pˇresná hodnota v ˇcase t
+ h je
x
(t + h) = x
(0)
n
+1 + ∆
(0)
n
+1
Modelování a simulace
Numerické metody - str. 14/18
Princip volby kroku
■
provedeme výpoˇcet s poloviˇcní délkou kroku, musíme
provést dva kroky
x
n
+ 1
2
= xn +
h
2
f
(tn, xn)
x
(1)
n
+1 = xn+ 1
2
+
h
2
f
(t
n
+ 1
2
, x
n
+ 1
2
)
Modelování a simulace
Numerické metody - str. 14/18
Princip volby kroku
■
provedeme výpoˇcet s poloviˇcní délkou kroku, musíme
provést dva kroky
x
n
+ 1
2
= xn +
h
2
f
(tn, xn)
x
(1)
n
+1 = xn+ 1
2
+
h
2
f
(t
n
+ 1
2
, x
n
+ 1
2
)
■
chyba je souˇctem chyb obou poloviˇcních krok ˚u
∆
(1)
n
+1 = c
h
2
2
+ c
h
2
2
=
1
2
ch2
=
1
2
∆
(0)
n
+1
Modelování a simulace
Numerické metody - str. 14/18
Princip volby kroku
■
provedeme výpoˇcet s poloviˇcní délkou kroku, musíme
provést dva kroky
x
n
+ 1
2
= xn +
h
2
f
(tn, xn)
x
(1)
n
+1 = xn+ 1
2
+
h
2
f
(t
n
+ 1
2
, x
n
+ 1
2
)
■
chyba je souˇctem chyb obou poloviˇcních krok ˚u
∆
(1)
n
+1 = c
h
2
2
+ c
h
2
2
=
1
2
ch2
=
1
2
∆
(0)
n
+1
■
pˇresná hodnota je
x
(t + h) = x
(1)
n
+1 + ∆
(1)
n
+1
Modelování a simulace
Numerické metody - str. 15/18
Princip volby kroku