04_Diskrétní systémy

Spoření s úrokem

Reálný sumátor

Plovoucí průměr

𝑭 𝒛 =

𝒀 𝒛

𝑼 𝒛

=

ൗ

𝟏

𝟑 𝟏 + 𝒛 + 𝒛

𝟐

𝒛𝟐

𝑭 𝒛 =

𝒀 𝒛

𝑼 𝒛

=

𝟏

𝒛 − 𝟏

𝑭 𝒛 =

𝒀 𝒛

𝑼 𝒛

=

𝟏

𝒛 − 𝟏 +

𝒑

𝟏𝟎𝟎

𝒂

nuly: 𝒛𝟏,𝟐 =

−𝟏 ± 𝒋 𝟑

𝟐

póly: 𝒑𝟏 = 𝒑𝟐 = 𝟎

nuly: 𝐧𝐞𝐣𝐬𝐨𝐮

póly: 𝒑𝟏 = 𝟏

nuly: 𝐧𝐞𝐣𝐬𝐨𝐮

póly: 𝒑𝟏 = 𝒂

Póly a nuly - význam

Póly a nuly jsou poměrně důležitým popisem neboť reprezentují řešení sytému, resp. jeho dynamické 
vlastnosti, např. póly poskytují informaci o stabilitě systému.

Póly a nuly jsou obecně komplexní čísla

můžeme je zakreslit do komplexní roviny, tzv. z-roviny.

Im

Im

Im

Stabilní systém

Systém na mezi stability

Nestabilní systém

𝒏𝒖𝒍𝒚

𝒑𝒐𝒍𝒚

Re

1

1

-1

-1

Re

1

1

-1

-1

Re

1

1

-1

-1

Stabilita systému

Základní definice stability pro diskrétní LTI systémy je:

„Diskrétní lineární systém je stabilní tehdy, jestliže po skončení vstupního
signálu u(k) a skončení přechodového děje se výstup systému y(k) vrátí na
původní hodnotu, kterou měl před začátkem působení vstupního signálu.“

Stabilita systému

Rozkladem operátorového přenosu na parciální zlomky lze psát:

Impulzová charakteristika systému s přenosem 𝐹𝑖 𝑧 =

𝐾𝑖

𝑧−𝑧𝑖

je:

𝐹 𝑧 =

𝑌 𝑧

𝑈 𝑧

=

𝑏

𝑚𝑧

𝑚 + ⋯ + 𝑏

2𝑧

2 + 𝑏

1𝑧 + 𝑏0

𝑎

𝑛𝑧

𝑛 + ⋯ + 𝑎

2𝑧

2 + 𝑎

1𝑧 + 𝑎0

= ෍

𝑖=1

𝑛

𝐾𝑖

𝑧 − 𝑧𝑖

póly

𝑔𝑖 𝑘 = 𝒵−1 𝐹𝑖(𝑧) = 𝒵−1

𝐾𝑖

𝑧 − 𝑧𝑖

= 𝐾𝑖 𝑧𝑖

𝑘−1

u(k)

y(k) = g(k)

vstupní signál

výstupní signál

F(z)

, 𝑚 ≤ 𝑛

1

0.5

𝑢 𝑘 = 𝛿(𝑘)

𝑘

, 𝑘 ≥ 1

1

2

-1

-2

1

0.5

𝑔 𝑘

𝑘

3

a

b

c

Stabilita systému

V důsledku linearity Z-transformace platí:

𝐹 𝑧 =

𝑌 𝑧

𝑈 𝑧

= ෍

𝑖=1

𝑛

𝐾𝑖

𝑧 − 𝑧𝑖

𝑔 𝑘 = ෍

𝑖=1

𝑛

𝑔𝑖(𝑘) = ෍

𝑖=1