04_Diskrétní systémy

𝒇 𝒕 ± 𝒂 → 𝒆±𝒑𝒂𝑭 𝒑

𝒆𝒑𝑻𝒔 = 𝒛𝟏

𝒆±𝒑𝒂

𝒆±𝒑𝑻𝒔

Základní vlastnosti Z-transformace

Posun v diskrétní časové doméně

Vlastnost posunutí signálu o jeden krok doleva/doprava lze zobecnit

je-li

diskrétní

signál

𝑓(𝑘)

posunutý v čase o konstantní hodnotu 𝑎, pak jeho Z-transformace je:

Jinými slovy, pokud známe ZT signálu 𝑓(𝑘), je snadné získat výsledek ZT signálu posunutého v čase
(dopředu či dozadu) násobením původního obrazu 𝐹(𝑧) elementem 𝒛±𝒂.

Linearita

Z-transformace je lineární transformace.

𝒇 𝒌 ± 𝒂 → 𝒛±𝒂𝑭 𝒛

𝒵 𝜶𝒇𝟏 𝒌 + 𝜷𝒇𝟐 𝒌 = 𝜶𝑭𝟏 𝒛 + 𝜷𝑭𝟐 𝒛

Z-transformace a DFR

Na základě uvedeného pravidla si lze DFR ve „zpožděné“ formě, např.:

snadno představit jako algoritmus a následně ji takto modelovat:

𝑦 𝑘 = 𝑏1𝑢 𝑘 − 1 + 𝑏0𝑢 𝑘 − 2 − 𝑎1 𝑦 𝑘 − 1 − 𝑎0𝑦 𝑘 − 2

výstup

vstup

rekurzivní vs. nerekurzivní 

systémy

Operátorový přenos

Co je operátorový přenos (přenosová funkce)?

… v případě nulových počátečních podmínek (tj. pro k<0 - u(k)=0, y(k)=0):

Operátorový přenos je jedním z nejdůležitějších popisů LTI systémů.

u(k)

y(k)

vstupní signál

výstupní signál 

𝑈(𝑧) = 𝒵 𝑢 𝑘

𝑌(𝑧) = 𝒵 𝑦 𝑘

Z-transformace

𝐹 𝑧 =

𝑌 𝑧

𝑈 𝑧

Operátorový přenos

F(z)

! 𝐹 𝑧 =𝑦 𝑘

𝑢 𝑘

Operátorový přenos – příklad

Určete operátorový přenos uvedeného systému

vstupní signál

výstupní signál

F(z)

y(k)

𝑢 𝑘 = ቊ

1,

𝑘 = 0

0,

𝑘 ≠ 0

𝑦 𝑘 = ቊ

1,

𝑘 ≥ 0

0,

𝑘 < 0

𝑈 𝑧 = ෍

𝑘=0

∞

𝑓 𝑘 𝑧−𝑘 = ⋯ 𝑢 𝑘 𝑗𝑒 𝑗𝑒𝑑𝑛𝑜𝑡𝑘𝑜𝑣ý 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑧 𝛿 𝑘 → 𝑈 𝑧 = 1

𝑌 𝑧 = ෍

𝑘=0

∞

𝑓 𝑘 𝑧−𝑘 = ⋯ 𝑦 𝑘 𝑗𝑒 𝑗𝑒𝑑𝑛𝑜𝑡𝑘𝑜𝑣ý 𝑠𝑘𝑜𝑘 𝜎 𝑘 → 𝑌 𝑧 =