04_Diskrétní systémy

𝑦 𝑘 + 1 = 1 +

𝑝

100

𝑦 𝑘 + 𝑢(𝑘)

Spoření s úrokem

Reálný sumátor

Plovoucí průměr

𝒚 𝒌 = 𝒚 𝒌 − 𝟏 + 𝒖(𝒌 − 𝟏)

𝒚 𝒌 =

𝟏
𝟑

𝒖 𝒌 − 𝟐 + 𝒖 𝒌 − 𝟏 + 𝒖(𝒌)

𝒚 𝒌 = 𝟏 +

𝒑

𝟏𝟎𝟎

𝒚 𝒌 − 𝟏 + 𝒖(𝒌 − 𝟏)

𝒌 − 𝟏

𝒌 − 𝟐

𝒌 − 𝟏

* pozn.: ideální sumátor ?

Diferenční rovnice (DFR)

Z praktických důvodů se častěji využívá „zpožděná“ forma diferenční rovnice.

Obecně lze zapsat ve tvaru:

Diferenční rovnice je relativně intuitivní a užitečný popis diskrétních systémů, avšak pro analýzu
dynamických vlastností lze často lépe využít jiné typy popisů (např. operátorový přenos)

využití Z-transformace

𝑖=0

𝑛

𝑎𝑛−𝑖 𝑦(𝑘 − 𝑖) = ෍

𝑖=0

𝑚

𝑏𝑚−𝑖 𝑢(𝑘 − 𝑖)

Z-transformace

Z-transformace je funkcí nezávisle proměnné „z“

Podobně jako Laplaceova transformace pro spojité signály, jedná se v případě Z-transformace o 
zobecnění Fourierovy transformace, resp. diskrétní Fourierovy transformace

bázovou funkcí DFT je funkce 𝑒𝑗𝜔𝑘,

bázovou funkcí Z-transformace je funkce 𝑧𝑘, kde 𝒛 je komplexní proměnná ve tvaru: 𝑧 = 𝑟 ∙ 𝑒𝑗𝜔.

Z-transformace 𝐹(𝑧) originálního („časového“) signálu 𝑓(𝑘) je dána:

Relaci mezi originálním signálem 𝑓(𝑘) a jeho Z-obrazem 𝐹(𝑧) lze formálně zapsat jako: 

𝐹 𝑧 = 𝒵 𝑓 𝑘

𝑓 𝑘 → 𝐹 𝑧

𝐹 𝑧 = ෍

𝑘=0

∞

𝑓 𝑘 𝑧−𝑘

Z-transformace – příklad č.1

Najděte Z-obraz signálu jednotkový impulz δ(k).

𝑓 𝑘 = 𝛿(𝑘) = ቊ

1 , 𝑘 = 0

0, 𝑘 ≠ 0

𝐹 𝑧 = ෍

𝑘=0

∞

𝑓 𝑘 𝑧−𝑘 = ෍

𝑘=0

∞

𝛿 𝑘 𝑧−𝑘 = 1 ∙ 𝑧0 = 1

Najděte Z-obraz signálu f(k) = ak .

𝐹 𝑧 = ෍

𝑘=0

∞

𝑓 𝑘 𝑧−𝑘 = ෍