04_Diskrétní systémy

𝑘=0

∞

𝑎𝑘 𝑧−𝑘 = ෍

𝑘=0

∞

(𝑎 𝑧−1)𝑘 = ? ? ?

Součet nekonečné geometrické řady:

𝐹 𝑧 =

1

1 − 𝑎 𝑧−1

=

𝑧

𝑧 − 𝑎

Z-transformace – příklad č.2

Inverzní Z-transformace

Inverzní Z-transformace je definována vztahem:

Relaci mezi originálním signálem 𝑓(𝑘) a jeho Z-obrazem 𝐹(𝑧) lze formálně zapsat jako: 

Pro zpětnou Z-transformaci se však častěji využívá „intuitivní přístup“ pomocí tzv. „slovníku“

𝑓 𝑘 = 𝒵−1 𝐹 𝑧 ,

𝐹 𝑧 → 𝑓 𝑘

𝑓 𝑘 =

1

2𝜋𝑗

ර

𝐶

𝐹 𝑧 𝑧𝑘−1𝑑𝑧

Slovník Z-transformace

𝒇 𝒌 = 𝒁−𝟏 𝑭 𝒛

𝑭(𝒛)

podmínky

𝛿 𝑘 𝑗𝑒𝑑𝑛𝑜𝑡𝑘𝑜𝑣ý 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑧

1

𝜎 𝑘 𝑗𝑒𝑑𝑛𝑜𝑡𝑘𝑜𝑣ý 𝑠𝑘𝑜𝑘

𝑧

𝑧 − 1

𝑎𝑘

𝑧

𝑧 − 𝑎

𝑘 ≥ 0

𝑘

𝑧

(𝑧 − 1)2

𝑘 ≥ 0

Vztah mezi Laplaceovou a Z-transformací

Pro Laplaceovu (LT) i Z-transformaci (ZT) platí, že se jedná o zobecnění Fourierovy transformace, 
resp. diskrétní Fourierovy transformace

existuje také relace mezi LT a ZT 

𝒛 = 𝒆 𝒑𝑻𝒔

𝑻𝒔 … časový interval mezi 2 po sobě 

jdoucími vzorky (vzorkovací perioda)

Vztah mezi Laplaceovou a Z-transformací

Jednou ze základních vlastností Laplaceovy transformace byl posun v časové doméně definovaný 
jako:

Dosazením hodnoty vzorkovací periody 𝑻𝒔 za hodnotu a, tj.

výraz 𝑒+𝑝𝑇𝑠 značí posuv signálu o hodnotu 𝑇𝑠 doleva („předbíhání“ signálu o hodnotu 𝑇𝑠)

výraz 𝑒−𝑝𝑇𝑠 značí posuv signálu o hodnotu 𝑇𝑠 doprava („zpoždění“ signálu o hodnotu 𝑇𝑠)

Na základě relace mezi LT a ZT, tj. 

, lze odvodit:

výraz 𝒛+𝟏 značí posuv signálu o „1 krok“ (o hodnotu jedné 𝑇𝑠) doleva („předbíhání“ signálu o 1 krok)

výraz 𝒛−𝟏 značí posuv signálu o „1 krok“ (o hodnotu jedné 𝑇𝑠) doprava („zpoždění“ signálu o 1 krok)