04_Diskrétní systémy

𝑦 𝑘 + 1 = 𝑦 𝑘 + 𝑢(𝑘)

Příklady jednoduchých diskrétních systémů

Algoritmus pro výpočet plovoucího průměru

Napišme jednoduchý algoritmus pro výpočet plovoucího průměru ze 3 po sobě jsoucích hodnot.

Spoření s úrokem

Označme y(k) [Kč] stav našeho účtu v k-tém roce a nechť roční úrok banky je p [%]. V k-tém roce nechť
činí náš vklad u(k) [Kč]. Počáteční stav našeho účtu nechť je y(0) [Kč]. V roce k + 1 bude stav našeho účtu:

kde k … číslo kroku, u(k) je číslo zadané z klávesnice v kroku k (vstup algoritmu), y(k+2) je číslo vypočtené a
zobrazené jako výsledek operace plovoucího průměru ze 3 hodnot (výstup programu). Program si nepamatuje
předchozí hodnoty výstupu y(k) či y(k+1).

𝑦 𝑘 + 2 =

1
3

𝑢 𝑘 + 𝑢 𝑘 + 1 + 𝑢(𝑘 + 2)

𝑦 𝑘 + 1 = 𝑦 𝑘 +

𝑝

100

𝑦 𝑘 + 𝑢(𝑘)

𝑦 𝑘 + 1 = 1 +

𝑝

100

𝑦 𝑘 + 𝑢(𝑘)

paměť

Diferenční rovnice (DFR)

Uvedené diskrétní systémy byly popsány pomocí tzv. diferenčních rovnic.

V případě, že uvažujeme tyto systémy jako LTI

popis pomocí lineárních diferenčních

rovnic s konstantními koeficienty.

DFR lze zapsat ve dvou podobách:

„dopředná“ forma

„zpožděná“ forma

Převod mezi jednotlivými formami lze realizovat posuvem o n kroků.

𝑎2 𝑦 𝑘 + 2 + 𝑎1 𝑦 𝑘 + 1 + 𝑎0𝑦 𝑘 = 𝑏1𝑢(𝑘 + 1) + 𝑏0𝑢 𝑘

𝑎2 𝑦 𝑘 + 𝑎1 𝑦 𝑘 − 1 + 𝑎0𝑦 𝑘 − 2 = 𝑏1𝑢(𝑘 − 1) + 𝑏0𝑢 𝑘 − 2

Diferenční rovnice (DFR) - příklady

Převeďte DFR uvedených systémů do „zpožděné“ formy

𝑦 𝑘 + 1 = 𝑦 𝑘 + 𝑢(𝑘)

𝑦 𝑘 + 2 =

1
3

𝑢 𝑘 + 𝑢 𝑘 + 1 + 𝑢(𝑘 + 2)