04_Diskrétní systémy

Vztah mezi signály 𝛿 𝑘 a 𝜎(𝑘) je:

V případě LTI systému tak analogicky platí vzájemný vztah mezi impulzovou 𝑔 𝑘 a přechodovou ℎ 𝑘
charakteristikou:

𝛿 𝑘 = 𝜎 𝑘 − 𝜎 𝑘 − 1

𝜎 𝑘 = ෍

𝑖=0

𝑘

𝛿 (𝑖)

𝒈 𝒌 = 𝒉 𝒌 − 𝒉 𝒌 − 𝟏

𝒉 𝒌 = ෍

𝒊=𝟎

𝒌

𝒈 (𝒊)

Frekvenční charakteristika

Co je frekvenční charakteristika?

Frekvenční charakteristika je odezva systému na harmonický vstupní signál s proměnnou frekvencí 𝝎.

Frekvenční charakteristiku systému lze stanovit na základě tzv. frekvenčního přenosu

využívá se relace mezi DFT a ZT, čili:

frekvenční přenos lze tedy získat jako: 

u(k)

y(k)

vstupní signál

výstupní signál

F(z)

𝑢 𝑘 = 𝐴1 sin(𝝎𝑘)

𝑦 𝑘 = 𝐴2 sin 𝝎𝑘 + 𝜑2

∗ po odeznění přechodného děje

𝒛 = 𝒆 𝒋𝝎𝑻𝒔

, kde 𝜔 ∈ 0,

2𝜋

𝑇𝑠

, resp. 𝜔 ∈ −

𝜋

𝑇𝑠

, +

𝜋

𝑇𝑠

𝐹 𝑗𝜔 = 𝐹 𝑧 |

𝑧=𝑒𝑗𝜔𝑇𝑠

𝐹 𝑗𝜔 = |𝐹 𝑗𝜔 |𝑒 𝑗∙𝑎𝑟𝑔 𝐹 𝑗𝜔

amplitudová char.

fázová char.

Póly a nuly

Co jsou póly a nuly?

V případě popisu systému pomocí operátorového přenosu ve tvaru podílu dvou polynomů:

lze každý polynom (čitatelový i jmenovatelový) rozložit na součin kořenových činitelů:  

Hodnoty zi a pi (obecně komplexní čísla) jsou kořeny čitatelového a jmenovatelového polynomu.

zi → 𝒏𝒖𝒍𝒚

pi → 𝒑𝒐𝒍𝒚

𝐹 𝑧 =

𝑌 𝑧

𝑈 𝑧

=

𝑏

𝑚𝑧

𝑚 + ⋯ + 𝑏

2𝑧

2 + 𝑏

1𝑧 + 𝑏0

𝑎

𝑛𝑧

𝑛 + ⋯ + 𝑎

2𝑧

2 + 𝑎

1𝑧 + 𝑎0

𝐹 𝑧 =

𝑌 𝑧

𝑈 𝑧

=

𝑏

𝑚

𝑎

𝑛

(𝑧 − 𝑧

1)(𝑧 − 𝑧2) ⋯ (𝑧 − 𝑧𝑚)

(𝑧 − 𝑝

1)(𝑧 − 𝑝2) ⋯ (𝑧 − 𝑝𝑛)

.

kladné vs. záporné mocniny z

Póly a nuly - příklady

Najděte póly a nuly následujících systémů popsaných pomocí operátorového přenosu.