1_Spojité_signály
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
c Fourierovy řady komplexní čísla.
Příklad 2.12:
Periodická funkce a její Fourierova řada
Určete, zda funkce
t
t
t
f
1
,
2
cos
2
2
sin
je periodická. V případě, že ano potom určete její
základní kmitočet a vypočtěte koeficienty její Fourierovy řady.
Řešení: Největší společný dělitel čísel 2
a 2,1 je 0,1 . Proto je výsledná funkce periodická,
1
,
0
0
,
0
0
0
0
21
20
20
21
0,5
0,5
j
t
j
t
j
t
j
t
f t
e
je
je
e
Dirichletovy podmínky
-0,40
-0,20
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
-6
,0
0
-5
,4
0
-4
,8
0
-4
,2
0
-3
,6
0
-3
,0
0
-2
,4
0
-1
,8
0
-1
,2
0
-0
,6
0
0,
00
0,
60
1,
20
1,
80
2,
40
3,
00
3,
60
4,
20
4,
80
5,
40
6,
00
M=0
M=1
M=3
M=5
M=11
34
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Každá funkce, která je periodická nemusí být ale vyjádřitelná ve tvaru Fourierovy řady. Aby
bylo možno periodickou funkci vyjádřit ve tvaru Fourierovy řady musí tato funkce splňovat
tzv. Dirichletovy podmínky (P.G.L.Dirichlet, 1805-1857, německý matematik):
1. Funkce
t
f
musí být absolutně integrovatelná přes jednu periodu tj.
M
dt
t
f
P
0
( 2.44 )
2. Funkce
t
f
musí mít na intervalu
P
,
0
konečný počet nespojitostí a konečný počet
maxim i minim.
Příklady funkcí, které nesplňují tyto podmínky a které tedy nelze vyjádřit ve tvaru Fourierovy
řady jsou uvedeny na Obr. 2-26.
Obr. 2-26:
Příklad periodických funkcí, nesplňujících Dirichletovy podmínky
Na obrázku je ukázána jedna perioda periodicky se opakující funkce
1
,
0
/
1
t
t
t
f
. Tato
funkce nesplňuje první Dirichletovu podmínku, neboť integrál této funkce diverguje. Druhou
funkcí je periodicky se opakující funkce
1
,
0
/
1
sin
t
t
. Pro
0
t
se oscilace této funkce
zvyšují a v jedné periodě je tedy nekonečně mnoho maxim a minim.
Fourierova řada nespojité funkce Splňuje-li funkce
t
f
Dirichletovy podmínky potom je možno ji vyjádřit ve tvaru řady ( 2.37