1_Spojité_signály
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
c . A toto je jedna
z úloh analýzy signálů a tato úloha je náplní následující kapitoly.
2.2.5 Fourierova řada periodické funkce
Uvažme periodickou funkci
t
f
se základní periodou
P a se základním kmitočtem
0
P
2
0
. V této kapitole ukážeme, že tuto funkci je možno psát ve tvaru řady
Signály a systémy
31
m
m
t
jm
me
c
t
f
0
( 2.37 )
kde pro koeficienty m
c této řady platí
,...
2
,
1
,
0
1 0
0
0
m
dt
e
t
f
P
c
P
t
t
t
jm
m
( 2.38 )
kde 0
t je libovolný časový okamžik. Koeficienty
m
c mohou být jak reálná tak i komplexní
čísla- záleží na funkci
t
f
. Tato řada se nazývá komplexní Fourierova řada (J.B.J.Fourier,
1768-1830, francouzský matematik). Vyskytují se v ní jak kladné tak i záporné frekvence (viz
komplexní exponenciální signál v předchozí kapitole).
Výraz ( 2.38 ) určuje hodnoty jednotlivých koeficientů
m
c v závislosti na funkci
t
f
. Soubor
koeficientů
m
c se nazývá spektrum signálu
t
f
a představuje amplitudy jednotlivých
harmonických složek tohoto signálu. Koeficient
0
c reprezentuje stejnosměrnou složku signálu
t
f
.
Výraz ( 2.38 ) pro koeficienty
m
c lze snadno odvodit. Vynásobme řadu ( 2.37 ) výrazem
t
jn
e
0
a integrujme v intervalu
P
t
t
0
0 ,
kde 0
t je libovolný časový okamžik. Obdržíme
m
m
P
t
t
t
n
m
j
m
P
t
t
m
m
t
jn
t
jm
m
P
t
t
t
jn
dt
e
c
dt
e
e
c
dt
e
t
f
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
( 2.39 )
kde bylo zaměněno pořadí integrace a sumace. Nyní lze využít vlastnosti ortogonality
komplexních exponenciální funkcí ( 2.35 ). Použijeme-li tohoto vztahu zůstane ze všech členů
řady na pravé straně rovnice ( 2.39 ) jen jeden člen, a to ten, pro který platí
n
m
tj. člen
n
c a