Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

j )

nj +1 · · · · · (t − t

k )

nk ,

nebo pro t0 6= tj pro kaˇzd´e j ∈ ˆ

k, jako

p(t) = βn(t − t1)

n1 (t − t

2)

n2 · · · · · (t − t

k )

nk (t − t

k+1)

nk+1 ,

kde tk+1 = t0 a nk+1 = 1. Snadno zkontrolujeme, ˇze souˇcet n´

asobnost´ı je n + 1 a ˇ

ze βn

odpov´ıd´

a koeficientu p(t) u nejvyˇ

sˇ

s´ı mocniny tn+1.

Pozn´

amka 60. N´

asobnost koˇ

rene polynomu lze ekvivalentnˇ

e definovat n´

asleduj´ıc´ım zp˚

usobem: t0

je k-n´

asobn´

y koˇ

ren polynomu p, pokud existuje polynom q takov´

y, ˇ

ze p(t) = (t − t0)

k q(t) pro kaˇzd´e

t ∈ C a q(t0) 6= 0.

Vˇ

eta 35 (O koˇ

renech re´

aln´

ych polynom˚

u). Necht’ p je re´

aln´

y polynom a necht’ t0 je jeho k-n´

asobn´

y

koˇ

ren. Pak t0 (ˇc´ıslo komplexnˇe sdruˇzen´e k t0) je tak´e jeho k-n´

asobn´

y koˇ

ren.

D˚

ukaz. Ukaˇ

zme nejprve, ˇ

ze t0 je tak´e koˇren. Necht’ p(t) =

Pn

j=0 αj t

j , kde αj ∈ R a αn 6= 0.

p(t0) =

n

X

j=0

αjt0

j

=

n

X

j=0

αjt

j
0 = p(t0) = 0.

Nyn´ı dok´

aˇ

zeme, ˇ

ze t0 je k-n´

asobn´

y koˇ

ren. Z B´

ezoutovy vˇ

ety v´ıme, ˇ

ze p(t) = (t − t0)

k q(t) a

q(t0) 6= 0. Pro kaˇzd´e t ∈ C plat´ı d´ıky re´alnosti p a d´ıky vlastnostem komplexn´ıch ˇc´ısel

p(t) = p(t) = (t − t0)kq(t) = (t − t0)

k q(t).

Jelikoˇ

z q

t0

= q(t0) 6= 0, je dok´

az´

ano, ˇ

ze t0 je k-n´

asobn´

y koˇ

ren p.

D˚

usledek 7. M´

a-li re´

aln´

y polynom lich´

y stupeˇ

n, pak m´

a re´

aln´

y koˇ

ren.

Pozn´

amka 61. Rozklad re´

aln´

eho polynomu na koˇ

renov´

e ˇ

cinitele v re´

aln´

em oboru: Je-li t0 ∈ C \ R

k-n´

asobn´

y koˇ

ren re´

aln´

eho polynomu p, pak t0 je tak´e k-n´

asobn´

ym koˇ

renem p a v rozkladu na

koˇ

renov´