Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

renov´

e ˇ

cinitele). Necht’ p(t) =

Pn

j=0 αj t

j je polynom stupnˇe

n ∈ N. Necht’ t1, t2, . . . , tk jsou jeho navz´ajem r˚

uzn´

e koˇ

reny. Pak existuj´ı jednoznaˇ

cnˇ

e urˇ

cen´

a ˇ

c´ısla

n1, n2, . . . , nk ∈ N takov´a, ˇze

Pk

j=1 nj = n a pro kaˇ

zd´

e t ∈ C plat´ı

p(t) = αn(t − t1)

n1 (t − t

2)

n2 · · · · · (t − t

k )

nk .

ˇ

R´ık´

ame, ˇ

ze nj je n´

asobnost koˇ

rene tj a t − tj je koˇ

renov´

y ˇ

cinitel pˇ

r´ısluˇ

sej´ıc´ı tj.

D˚

ukaz. Matematickou indukc´ı podle stupnˇ

e polynomu n.

• Pro n = 1 je pro p(t) = α0 + α1t jednoznaˇcn´ym rozkladem na koˇrenov´e ˇcinitele p(t) =

α1(t +

α0
α1

).

• Pˇredpokl´

adejme pro nˇ

ejak´

e n ≥ 1, ˇ

ze kaˇ

zd´

y polynom stupnˇ

e n m´

a jednoznaˇ

cn´

y rozklad na

koˇ

renov´

e ˇ

cinitele. Necht’ p je polynom stupnˇ

e n + 1 a necht’ t0 je jeho koˇren (podle Z´

akladn´ı

vˇ

ety algebry v´ıme, ˇ

ze takov´

e t0 ∈ C existuje). Podle B´ezoutovy vˇety existuje polynom q

stupnˇ

e n takov´

y, ˇ

ze

p(t) = (t − t0)q(t).

Podle indukˇ

cn´ıho pˇ

redpokladu m´

a q(t) =

Pn

j=0 βj t

j jednoznaˇcn´y rozklad na koˇrenov´e ˇcinitele,

tj. existuj´ı jednoznaˇ

cnˇ

e urˇ

cen´

a ˇ

c´ısla n1, n2, . . . , nk ∈ N takov´a, ˇze

Pk

j=1 nj = n a pro kaˇ

zd´

e

t ∈ C plat´ı

q(t) = βn(t − t1)

n1 (t − t

2)

n2 · · · · · (t − t

k )

nk .

Odtud m´

ame jednoznaˇ

cn´

y rozklad p na koˇ

renov´

e ˇ

cinitele

p(t) = βn(t − t0)(t − t1)

n1 (t − t

2)

n2 · · · · · (t − t

k )

nk ,

53

kter´

y lze jeˇ

stˇ

e upravit, pokud t0 = tj pro nˇejak´e j ∈ ˆ

k, jako

p(t) = βn(t − t1)

n1 (t − t

2)

n2 · · · · · (t − t