Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

adejme pro nˇ

ejak´

e n ≥ 0, ˇ

ze kaˇ

zd´

y polynom stupnˇ

e n m´

a nejv´

yˇ

se n koˇ

ren˚

u. Necht’

p je polynom stupnˇ

e n + 1 a necht’ t0 je jeho koˇren (podle Z´

akladn´ı vˇ

ety algebry v´ıme, ˇ

ze

takov´

e t0 ∈ C existuje). Podle B´ezoutovy vˇety existuje polynom q stupnˇe n takov´y, ˇze

p(t) = (t − t0)q(t).

Jelikoˇ

z m´

a q podle indukˇ

cn´ıho pˇ

redpokladu nejv´

yˇ

se n koˇ

ren˚

u, m´

a p nejv´

yˇ

se n + 1 koˇ

ren˚

u.

D˚

usledek 5. Jedinˇ

e nulov´

y polynom m´

a nekoneˇ

cnˇ

e mnoho koˇ

ren˚

u.

Pozn´

amka 57. Pokud tedy u nˇ

ejak´

eho polynomu tvaru p(t) =

Pn

j=0 αj t

j zjist´ıme, ˇze m´a v´ıce neˇz

n koˇ

ren˚

u, pak uˇ

z jde nutnˇ

e o nulov´

y polynom, tedy αj = 0 pro kaˇzd´e j ∈ {0, 1, . . . , n}.

D˚

usledek 6. Koeficienty polynomu a tedy i jeho stupeˇ

n jsou urˇ

ceny jednoznaˇ

cnˇ

e.

D˚

ukaz. Tvrzen´ı dok´

aˇ

zeme sporem. Pˇ

redpokl´

adejme, ˇ

ze existuje polynom p, pro kter´

y plat´ı

p(t) =

n

X

j=0

αjt

j =

n

X

j=0

βjt

j

pro kaˇ

zd´

e t ∈ C (nepˇredpokl´ad´ame, ˇze αn 6= 0 ani βn 6= 0)

a existuje index j0 ∈ {0, 1, . . . , n} takov´

y, ˇ

ze αj

0 6= βj0 . Pak ale

Pn

j=0(αj −βj )t

j = 0 pro kaˇzd´e t ∈ C,

a tedy jde o nulov´

y polynom, coˇ

z je ale spor s t´ım, ˇ

ze koeficient αj

0 − βj0 6= 0.

Pozn´

amka 58. Aˇ

z nyn´ı jsme se dozvˇ

edˇ

eli, ˇ

ze definice stupnˇ

e polynomu je korektn´ı, tedy ˇ

ze kaˇ

zd´

y

polynom m´

a stupeˇ

n jednoznaˇ

cnˇ

e urˇ

cen´

y.

Pozn´

amka 59. V pˇ

r´ıkladech ˇ

casto vyuˇ

zijeme, ˇ

ze z D˚

usledku 6 plyne, ˇ

ze dva polynomy se rovnaj´ı,

pr´

avˇ

e kdyˇ

z se rovnaj´ı jejich koeficienty u jednotliv´

ych mocnin promˇ

enn´

e.

Vˇ

eta 34 (Rozklad polynom˚

u na koˇ