Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
arn´ı polynom (n = 1), napˇ
r. p(t) = t + 3,
– kvadratick´
y polynom (n = 2), napˇ
r. p(t) = −t2 +
1
2 t +
√
3,
– kubick´
y polynom (n = 3), napˇ
r. p(t) = −it3,
– bikvadratick´
y polynom (n = 4), napˇ
r. p(t) = −t4 − 104t3,
• koˇ
ren (nulov´
y bod) polynomu p je kaˇ
zd´
e ˇ
c´ıslo t0 ∈ C splˇ
nuj´ıc´ı p(t0) = 0
• re´
aln´
ym polynomem nazveme polynom s re´
aln´
ymi koeficienty
Vˇ
eta 32 (Z´
akladn´ı vˇ
eta algebry). Kaˇ
zd´
y polynom stupnˇ
e alespoˇ
n prvn´ıho m´
a v C alespoˇ
n jeden
koˇ
ren.
Ponech´
ame bez d˚
ukazu.
Vˇ
eta 33 (B´
ezoutova vˇ
eta). Necht’ p je polynom n-t´
eho stupnˇ
e pro n ∈ N, necht’ t0 ∈ C. Potom
existuje polynom q stupnˇ
e n − 1 takov´
y, ˇ
ze plat´ı
p(t) = p(t0) + (t − t0)q(t)
pro kaˇ
zd´
e t ∈ C.
D˚
ukaz. Oznaˇ
cme p(t) =
Pn
j=0 αj t
j ,
αn 6= 0. Pak
p(t) − p(t0)
=
Pn
j=0 αj t
j − P
n
j=0 αj t
j
0
=
Pn
j=0 αj (t
j − t
j
0)
=
=
Pn
j=1 αj (t
j − t
j
0)
=
Pn
j=1 αj (t − t0)
Pj−1
i=0 t
it
j−1−i
0
=
=
(t − t0)
Pn
j=1 αj
Pj−1
i=0 t
it
j−1−i
0
=
(t − t0)q(t).
Snadno nahl´
edneme, ˇ
ze q(t) =
Pn
j=1 αj
Pj−1
i=0 t
it
j−1−i
0
je polynom a m´
a stupeˇ
n n − 1, protoˇ
ze pro
j = n a i = n − 1 dostaneme maxim´
aln´ı mocninu tn−1, kterou q(t) obsahuje, a koeficient u tn−1
je αn 6= 0.
V d˚
ukazu jsme vyuˇ
zili vzorec aj − bj = (a − b)
Pj−1
i=0 a
ibj−1−i, kter´y plat´ı pro kaˇzd´e a, b ∈ C a
j ∈ N. (Dokaˇzte jej sami matematickou indukc´ı.)
D˚
usledek 4. Kaˇ
zd´
y polynom n-t´
eho stupnˇ
e, kde n ∈ N0, m´a nejv´yˇse n r˚
uzn´
ych koˇ
ren˚
u.
D˚
ukaz. Matematickou indukc´ı podle stupnˇ
e polynomu n.
• Pro n = 0 je tvrzen´ı jasn´
e.
52
• Pˇredpokl´