Matematika k maturitě - Petr Řezka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu DOC.
Matematika
Obsah:
Základní poznatky z matematické logiky a teorie množin
Výrok (p): Každé sdělení, o kterém můžeme rozhodnout, zda je či není pravdivé. Je-li výrok pravdivý, přiřazujeme mu 1. Není-li pravdivý, přiřazujeme mu 0.
Negace výroku (p'): tvoříme ji pomocí „není pravda, že“ nebo „neplatí, že“.
Logické spojky
Konjunkce (): „a“, „i“, „a zároveň“ – je pravdivá, když jsou pravdivé oba výroky
Disjunkce (alternativa) (): „nebo“ – je pravdivá, je-li pravdivý alespoň 1 výrok
Implikace (): „jestliže …, pak“ – není pravdivá jen tehdy, vyplývá-li z pravdy nepravda
Ekvivalence (oboustranná implikace) (): „…právě tehdy, když …“ – je pravdivá, mají-li oba výroky stejnou pravdivostní hodnotu
A B 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1Kvantifikované výroky
Obecný kvantifikátor (): „V každém…“, „Pro každé…“ – např.
Existenční kvantifikátor (): „Existuje…“ – např.
Definice, věty
Definice: zavádí základní matematické pojmy
Věty: musíme je na rozdíl od definic dokázat. Skládají se z předpokladu a tvrzení. Např. – předpoklad: celé kladné liché č. – tvrzení: a2 je liché č.
věta obměněná
Množiny
Množina (A,B,…): soubor určitých prvků – konečná (žáci), nekonečná (R), prázdná ({})
Určení množin: výčtem (), symbolicky ()
Vztahy mezi množinami
Podmnožina (): „A je podmnožinou B“ – inkluze – def.
Rovnost (): def.
Operace mezi množinami
Vennovy diagramy: U – základní (universální) množina
Sjednocení (): def.
Průnik (): def.
zákon komutativní (o záměně):
zákon asociativní (o sdružování):
zákon distributivní (o roznásobení):
Rozdíl (): def.
Doplněk (): def.
de Morganova pravidla:
Číselné intervaly
Otevřený:
Uzavřený:
Polouzavřený: zleva uzavřený:
zprava uzavřený:
S intervaly pracujeme stejně jako s množinami, a proto pro ně platí stejné operace.
Společný násobek a dělitel
Nejmenší spol. násobek: , v prvočíselném rozkladu má každé prvočíslo obsažené v nejvyšší mocnině.
Největší spol. dělitel: , v prvočíselném rozkladu má pouze spol. prvočíslo.
Matematické důkazy
Přímý důkaz (): vycházíme z předpokladu dané věty a musíme se dopracovat k jejímu tvrzení
Např.
liché č.:, potom , kde je sudé.
Nepřímý důkaz (): dokazujeme větu obměněnou pomocí přímého důkazu.
Např.
nedělitelné 3: , potom nebo , kde a jsou dělitelná 3.
Důkaz sporem ():
Např.
předpokládáme , po úpravách rovnice: , protože x2 nemůže být <0 – spor s předpokladem a daná věta platí.
Matematická indukce: Dokážeme, že platí V(1), potom že pro .
Např.
ověření n=1; L=P
předpoklad máme dokázat
platí pro
Mocniny a odmocniny, mocninné funkce
Mocniny s celočíselným exponentem
Slučovat lze pouze souhlasné odmocniny, odmocnit součet a rozdíl nelze.