maturita : matika teorie

Totožné- nekonečně mnoho

Různoběžné- Průsečík

Goniometrický význam- určení souřadnic průsečíku

1. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ FUNKCE

exponenciální funkce- y = ax,a je kladné reálné číslo různé od 1, nazývá se základ, x ∈ ℝ, nazývá se exponent

0 < a < 1

• D(f) = ( − ∞, ∞)

• H(f) = (0, ∞)

• grafem je exponenciála

• je omezená zdola, shora omezená není

  • je klesající, tedy prostá

  • nemá ani maximum ani minimum

a > 1

• D(f) = ( − ∞, ∞)

• H(f) = (0, ∞)

• je omezená zdola, shora omezená není

• je rostoucí, tedy prostá

• nemá maximum ani minimum

logaritmická funkce

• y = logax ⇔ x = ay

• a je kladné reálné číslo různé od 1, nazývá se základ

0 < a < 1

• D(f) = (0, ∞)

• H(f) = ( − ∞, ∞)

• není ani lichá ani sudá

• je klesající, tedy prostá

• nemá maximum ani minimum

• není omezená ani shora ani zdola

• grafem log. křivka

a > 1

• D(f) = (0, ∞)

• H(f) = ( − ∞, ∞)

• není ani lichá ani sudá

• není omezena ani shora ani zdola

• nemá maximum ani minimum

• je rostoucí, tedy prostá

• je spojitá v (0, ∞)

• logaritmus kladného čísla x o základu a je reálné číslo logax

věty o logaritmech

• loga(x1 ⋅ x2) = logax1 + logax2

• $\log_{a}\frac{x_{1}}{x_{2}} = \log_{a}x_{1} - \log_{a}x_{2}$

• logaxr = r ⋅ logax

• $\log_{a}\sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \cdot \log_{a}x$

základní pravidla pro počítání s mocninami s reálným exponentem

• n – tá mocnina je definována v množině reálných čísel, kde a je libovolné reálné číslo a n je přirozené číslo

$a^{n} = \underset{n - \text{kr}át}{\underset{}{a \cdot a \cdot a \cdot a\text{...} \cdot a}}$

• a je exponent (mocnitel), n je mocnina

pravidla pro počítání s mocninami

• m, n jsou přirozená čísla m, n ∈ ℕ

• a,b jsou reálná čísla a, b ∈ ℝ

ar ⋅ as = ar + s

• když násobíme mocniny o stejném základu, pak se jejich exponenty sčítají

ar ÷ as = ar − s

• když dělíme mocniny o stojném základu, pak se jejich exponenty odečítají

(ar)s = ar ⋅ s

• když umocňujeme mocninu, jejich mocniny se násobí

(a ⋅ b)r = ar ⋅ br

• součin umocníme tak, že umocníme každého čitatele zvlášť

$${(\frac{a}{b})}^{r} = \frac{a^{r}}{b^{r}}$$

• podíl umocníme tak, že umocníme jak čitatel, tak jmenovatel

Inverzní fce- opačná inverzní fce exponentu je log. Fce

1. Exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice

Logaritmickou rovnicí- rovnice v níž se nevyskytují logaritmy výrazů s neznámou x=R

pravidla pro počítání s logaritmy

• logaritmus kladného čísla x o základu a je reálné číslo logax

• převedeme na stejný základ, každý na jednu stranu a odlogaritmujeme

• použijeme substituci logx2 =  ∣ logx∣

věty o logaritmech

• loga(x1 ⋅ x2) = logax1 + logax2

• $\log_{a}\frac{x_{1}}{x_{2}} = \log_{a}x_{1} - \log_{a}x_{2}$

• logaxr = r ⋅ logax

• $\log_{a}\sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \cdot \log_{a}x$