maturita : matika teorie

jednotková kružnice

• jejich absolutní hodnota je jedna

komplexní jednotka

• je každé komplexní číslo, jehož absolutní hodnota musí být rovna 1

Moivereova věta

• pokud se to nepočítá přes tuto větu, počítá se binomickým rozvojem

• týká se umocňování komplex.čísla

• z =  ∣ z∣n ⋅ (cos nϕ + i ⋅ sin nϕ)

co je jednotková kružnice pro komplexní čísla

• obraz množiny všech komplexních jednotek

binomická rovnice

• je to algebraická rovnice ve tvaruaxn + b = 0, kdea, b ∈ ℂ,n ∈ ℕ

• dvoučlenná rce vyššího řádu,má algebraické a goniometrické řešení- má tolik řešení kolik je tam mocnin

• každá rce, která se skládá ze dvou členů

1. Kombinatorika

Faktoriál: je to součin všech přirozených čísel od jedné do n, kde n ∈ ℕ

• značí se n!

• n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ …n 0! = 1

Kombinační číslo

• je to matematická funkce, která udává počet kombinací

• je to způsob jak vybrat k – prvkovou podmnožinu z n – prvkové množiny, kdek, n ∈ ℕ

• značí se

• pro každén, k ∈ ℕ, k ≤ nje $\frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}$

• kombinace

  • k – členná kombinace z n prvků je každá neuspořádaná k – ticce prvků, kde se každý prvek vyskytuje jen jednou, kden, k ∈ ℕ, k ≤ n

  • podmnožiny z větší množiny

  • nezáleží na pořadí

  • $K(k,n) = \frac{n!}{k! \cdot (n–k)!}$

• variace

  • k – členná variace z n prvků je každá uspořádaná k – tice, kde se každý prvek opakuje jen jednou, kden, k ∈ ℕ, k ≤ n

  • záleží na pořadí

  • $V(k,n) = n(n - 1)(n - 2)\text{...}(n - k + 1) = \frac{n!}{(n - k)!}$

• permutace

  • je každá n – členná variace z daných n prvků, kde se každá prvek vyskytuje jen jednou

  • záleží na pořadí

  • P(k) = n!

• binomická věta

  • je daná vzorcem(a + b)n

1. Posloupnost

• posloupnost je funkce definovaná v oboru přirozených čísel

• funkční hodnoty posloupnosti se nazývají členy posloupnosti
  
  Aritmetická posloupnost

  • platí, že rozdíl každých dvou po sobě jdoucích členů je konstantní a nazývá se diference

  • každý člen kromě prvního, je aritmetickým průměrem těch dvou krajních

  • jestliže diference je :

    • kladné – rostoucí graf

    • záporné – klesající graf

  • rekurentní vzorec

    • zpětný, máme zadaný n-ty člen a pomocí toho máme určit první člen

    • an = an − 1 + d an + 1 = an + d

  • vzorec pro n – tý člen

    • an = a1 + (n − 1)d

  • aritmetický průměr, kden > 1

    • $a_{n} = \frac{a_{n–1} + a_{n + 1}}{2}$

  • součet prvních n členů

    • $S_{n} = \frac{n}{2} \cdot (a_{1} + a_{n})$

  • grafem je přímka

Geometrická posloupnost

• platí, že podíl každých dvou po sobě jdoucích členů je konstantní, nazývá se kvocintem

  • rostoucí – q větší jak jedna

  • od 0 do jedné – zmenšuje se

• tři po sobě jdoucí členy, prostřední člen je roven odmocnině součinu těch dvou krajních čísel (geometrický průměr)