maturita : matika teorie

shodnost

• vztah roviny k útvaru, zachovává velikost úhlů

• přesunutí – vektor

• otáčení

  • záporné – po směru hodinových ručiček

  • kladné – proti směru hodinových ručiček

• středová souměrnost – otáčení o 180°

• překlopení

  • osová souměrnost, zrcadlový obraz

  • přímá – zachovává se smysl popisu, stejný směr popisu

  • nepřímá – zrcadlový obraz

14.-15. Kuželosečky

Kružnice

• je to množina bodů, která má od středu S konstantí vzdálenostr > 0

• (x − m)2 + (y − n)2 = r2 r =  ∣ SM∣

• parametricky

  • x = r ⋅ cos ϕ

  • y = r ⋅ sin ϕ

• sečna s kružnicí má dva společné body

• vnější přímka nemá ani jeden společný bod

• tečna má jeden společný bod

  • (x − m)(x0–m) + (y–n)(y0–n) = r2

• polára

  • bod T je spojnice dvou tečen (pól kuželosečky), pokud ho spojíme se středem kuželosečky, vznikne nám polára p

Elipsa

• je to množina bodů v rovině, které mají od dvou různých bodů E,F (ohnisek) konstantní součet vzdáleností  ∣ EM ∣  +  ∣ FM ∣  = 2a

• $\frac{{(x - m)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y–n)}^{2}}{b^{2}} = 1$

• $\frac{{(x - m)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y–n)}^{2}}{a^{2}} = 1$

• e2 = a2 − b2

• parametricky

  • x = a ⋅ cos ϕ

  • y = b ⋅ sin ϕ

• tečna

  • $\frac{(x - m)(x_{0} - m)}{a^{2}} + \frac{(y–n)(y_{0} - n)}{b^{2}} = 1$

  • $\frac{(x - m)(x_{0} - m)}{b^{2}} + \frac{(y–n)(y_{0} - n)}{a^{2}} = 1$

Hyperbola

• je to množina bodů v rovině, které mají od dvou různých bodů E, F (ohnisek) absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností  ∣  ∣ ME ∣  −  ∣ MF ∣  ∣  = 2a

• $\frac{{(x - m)}^{2}}{a^{2}}–\frac{{(y - n)}^{2}}{b^{2}} = 1$

• $\frac{- {(x - m)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - n)}^{2}}{a^{2}} = 1$

• e2 = a2 + b2

• asymptoty

  • u rovnoosé hyperboly jsou si asymptoty kolmé

  • $y - n = \pm \frac{a}{b} \cdot (x - m)$

• parametricky

  • $x = \frac{a}{\cos\phi}$

  • y = b ⋅ tgϕ

• tečna

  • $\frac{(x - m)(x_{0} - m)}{a^{2}}–\frac{(y - n)(y_{0} - n)}{b^{2}} = 1$

  • $- \frac{(x - m)(x_{0} - m)}{b^{2}} + \frac{(y - n)(y_{0} - n)}{a^{2}} = 1$

Parabola

• je to množina bodů v rovině, které mají konstantní vzdálenost od řídící přímky a ohniska F  ∣ MK ∣  =  ∣ ME∣

• je to nestředová kuželosečka

• (y − n)2 = 2p ⋅ (x − m)

• (y − n)(y0 − n) = 2p ⋅ (x + x0 − 2m)

• (y − n)2 =  − 2p ⋅ (x − m)

(y − n)(y0 − n) =  − p ⋅ (x + x0 − 2m)

• (x − m)2 = 2p ⋅ (y − n)

(x − m)(x0 − m) = p ⋅ (y + y0 − 2n)

• (x − m)2 =  − 2p ⋅ (y − n)

• (x − m)(x0 − m) =  − p ⋅ (y + y0 − 2n)

1. TEČNY K FUNKCÍM A KUŽELOSEČKÁM

Implicitní fce- fce dána imaginárně= skrytá fce, používá se jen tam kde je na druhou