maturita : matika teorie

exponenciální rovnice - nazýváme každou rovnici, ve které je neznámá x ∈ ℝv exponentu nějaké mocniny

řešení

• převedeme na stejný základ

• použijeme substituci

• zlogaritmováním

1. GONIOMETRICKÉ FUNKCE

Goniometrické fce- definují se jako poměr dvou stran v pravoúhlém trojúhelníku nebo délky určitých částí úseček v jednotkové kružnici

Sinus- je definovaná jako poměr protilehlé odvěsny ku přeponě

$$\sin\alpha = \frac{\text{protile}hlá\text{odv}ě\text{sna}}{př\text{epona}} = \frac{a}{c}$$

• grafem je sinusoida, perioda opakující se po periodě 2kπ

• na jednotkové kružnici se nachází na ose y

• sin2α + cos2α = 1, v prvním a druhém kvadrantu je kladný, v třetím a čtvrtým je záporný

• D(f) ∈ ( − ∞, ∞)

• H(f) ∈ ⟨ − 1, 1⟩

• je rostoucí v intervalu $- \frac{1}{2}\pi + 2k\pi,\frac{1}{2}\pi + 2k\pi$

• je klesající v intervalu $\frac{1}{2}\pi + 2k\pi,\frac{3}{2}\pi + 2k\pi$

• maximum má v bodě$x = \frac{1}{2}\pi + 2k\pi$

• minimum má v bodě$x = \frac{3}{2}\pi + 2k\pi$

• sinova věta- poměr délek stran trojúhelníka se rovná poměru sinů velikostí jen protilehlých úhlů

$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \sin\frac{\alpha}{\sin}\beta = \frac{b}{c} = \sin\frac{\beta}{\sin}\gamma = \frac{a}{c} = \sin\frac{\alpha}{\sin}\gamma$$

-používá se, když známe dva úhly a jednu stranu nebo když máme dvě délky stran trojúhelníka a úhel, který nesvírají, zjistíme 2 velikosti úhlu, ale jen jeden se dopočítá do 180°

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = d$ $\frac{a}{2 \cdot \sin\alpha} = \frac{b}{2 \cdot \sin\beta} = \frac{c}{2 \cdot \sin\gamma} = r$

Kosinus- je definovaná jako poměr přilehlé odvěsny ku přeponě

$$\cos\alpha = \frac{př\text{ile}hlá\text{odv}ě\text{sna}}{př\text{epona}} = \frac{b}{c}$$

• grafem je kosinusoida, perioda opakující se po periodě 2kπ

• na jednotkové kružnici se nachází na ose x

• sin2α + cos2α = 1, v prvním a čtvrtém kvadrantu je kladný, v druhém a třetím je záporný

• D(f) ∈ ( − ∞, ∞)

• H(f) ∈ ⟨ − 1, 1⟩

• je rostoucí v intervalu π + 2kπ, 2π + 2kπ

• je klesající v intervalu 2kπ, π + 2kπ

• maximum má v boděx = 2π + 2kπ

• minimum má v boděπ + 2kπ

kosinova věta a2 = b2 + c2 − 2bc ⋅ cos α

b2 = c2 + a2 − 2ca ⋅ cos β

c2 = a2 + b2 − 2ab ⋅ cos γ

používá se, když známe 2 strany a úhel, který svírají

tangens- je definována jako poměr protilehlé odvěsny ku přilehlé odvěsně

$$\text{tgα} = \frac{\text{protile}hlá\text{odv}ě\text{sna}}{př\text{ile}hlá\text{odv}ě\text{sna}} = \frac{a}{b}$$

• grafem je tangenoida, periodu má kπ

• je to tečna k jednotkové kružnici, prochází bodem [0;1]

• $y = \text{tgx} = \frac{\sin x}{\cos x}$

• $D(f)\mathbb{\in R} - \{\frac{1}{2}\pi + \text{kπ}\}$

• H(f) ∈ ( − ∞, ∞)

• je rostoucí v intervalu $- \frac{\pi}{2} + \text{kπ},\frac{\pi}{2} + \text{kπ}$