Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Matematická analýza pro fyziky I
Robert Černý & Milan Pokorný
25. prosince 2016
2
Obsah
1
Motivační úvod
5
1.1
MA a jiné vědy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.1
Model, jeho matematický popis a vztah k realitě . . . . . .
6
1.2
Historie MA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2
Matematický úvod
15
2.1
Opakování ze SŠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.1.1
Logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.1.2
Množiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.1.3
Zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.2
Číselné obory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.2.1
Supremum a infimum, axiomatické zavedení reálných čísel .
24
2.2.2
Přirozená, celá a racionální čísla
. . . . . . . . . . . . . . .
29
2.2.3
Vlastnosti reálných, racionálních a přirozených čísel
. . . .
32
2.2.4
Základní rovnosti a nerovnosti
. . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.2.5
Komplexní čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.2.6
Rozšířená reálná osa a komplexní rovina, okolí bodu v R, C,
R
∗ a C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.2.7
Mohutnost množin, spočetné a nespočetné množiny
. . . .
45
3
Limita, spojitost, derivace
49
3.1
Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.1.1
Vlastní limita ve vlastním bodě . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.2
Spojitost funkce
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
3.3
Derivace funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
3.4
Elementární funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
3.5
Derivace vyšších řádů
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
3.6
Komplexní funkce
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
4
Primitivní funkce
101
4.1
Základní pojmy a příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2
Parciální zlomky, racionální funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.2.1
Přípravné práce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2.2
Rozklad na parciální zlomky
. . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3
4
OBSAH
4.3
Substituce na racionální lomené funkce . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.3.1
Exponenciální substituce
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.3.2
Logaritmická substituce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3.3
Odmocninová substituce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3.4
Eulerovy substituce
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.3.5
Goniometrické substituce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.4
Elementární metody řešení ODR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.4.1
Lineární obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu . . . . 132
4.4.2
Lineární obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu s kon-
stantními koeficienty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134