Matematická analýza - skripta

Nabízí se přirozená otázka, proč psát nová skripta, když existují jiná, která

poměrně dobře odpovídají obsahu přednášky z matematické analýzy pro fyziky.
Zmiňme zde alespoň hlavní důvody, které současně demonstrují cíle, které si při
jejich psaní klademe. Ve skriptech [Ko MA I] chybí pečlivější úvod, který by lépe
vysvětlil základy moderní matematiky. Dále se dnes zavedení reálných čísel vykládá
trochu jinak, než je popsáno ve skriptech. Metoda zvolená ve skriptech navíc patří
k těm méně vhodným pro výklad. K posunu stylu výkladu došlo také v některých
dalších částech, jako například pořadí limit posloupností a limit funkcí, v teo-
rii Lebesgueova integrálu, v kapitole věnované diferenciálním formám a mnohých
dalších částech.

Než se dáme do výkladu, pokusme se na dvou typových fyzikálních úlohách

vysvětlit, k čemu je dobré matematickou analýzu znát, ale také, jakými problémy se
některé partie matematické analýzy a její nadstavby (funkcionální analýza, teorie
diferenciálních rovnic a jiné) věnují v současném výzkumu, a demonstrovat, že je
stále mnoho otevřených problémů, které jsou úzce svázány s relativně základními
a z fyzikálního pohledu klasickými modely v mechanice. Čtenáři, kteří mají pocit,
že něco podobného by je mohlo spíše než motivovat vystrašit, mohou samozřejmě
zbytek této kapitoly přeskočit a začít se zabývat rovnou základy matematiky,
potřebnými k výkladu matematické analýzy.

1.1.1

Model, jeho matematický popis a vztah k realitě

Uvědomme si, že jiné přírodní vědy než matematika potřebují ke svému zkoumání
okolní svět. Na základě experimentů a pozorování přichází s teoriemi, jak příslušné

1.1. MA A JINÉ VĚDY

7

jevy fungují a na základě předpovědí, které by měla každá nová teorie přinášet,
pak zpětně ověřit, do jaké míry je tato teorie správná. Matematika a speciálně i
matematická analýza si, na rozdíl od jiných věd, vystačí sama se sebou. Je možno
formulovat úlohy, které používají pouze jazyk matematiky a nevztahují se nijak
k reálnému světu, jejich vyřešením se dosáhne pouze pokroku uvnitř matematiky,
není nikterak jasné, že by vyřešení takové úlohy jakkoliv ovlivnilo jiné vědní obory.
Ale co není teď, může být třeba někdy v budoucnu.

Naši čtenáři ale samozřejmě očekávají něco jiného. Pokusme se tedy ukázat

nějaké úlohy, které bezprostředně vychází z fyzikálního popisu reality. Cílem bude
od sebe oddělit, co je reálný svět, co je jeho fyzikálním modelem a kdy nastupuje
matematická analýza a jak pomáhá řešit úlohy, které vznikly z těchto fyzikálních
modelů. Uvidíme, že někdy se matematická analýza zabývá zdánlivě nesmyslnými
úlohami, ale na druhou stranu se ukazuje, že tyto zdánlivě nesmyslné úlohy mohou
někdy ukázat, že daný fyzikální model není úplně dobrý a je třeba ho revidovat.