Matematická analýza - skripta

Zde je ale situace mnohem komplikovanější než v popisu pohybu hmotné čás-

tice. I když se výkonnost počítačů během posledních desetiletí výrazně zvýšila,
pořád je velmi přesné řešení třídimenzionálního proudění newtonovské tekutiny na
intervalech délky řádově minut otázkou dnů či týdnů výpočtů na nejvýkonnějších
strojích, takže je třeba často dělat kompromisy. Je nutno kombinovat fyzikální
znalosti se znalostmi z matematické analýzy a numerických metod, aby se ověřilo,
že řešení získané méně přesnou metodou stále dobře odpovídá realitě, ale i leží
blízko řešení původních rovnic.

Samozřejmě existují i další aplikace matematické analýzy a to nejen ve fyzice,

ale i dalších vědních oborech. Uveďme, již jen velmi stručně, že mnohé biologické
modely (například typu dravec–kořist) se dají popsat pomocí obyčejných či parci-
álních diferenciálních rovnic, v lékařství se dnes běžně pracuje s modely proudění
krve v cévách, či se pomocí matematických modelů popisuje růst nádorů, při roz-
poznávání obrazu se někdy používají parciální diferenciální rovnice a mnohé úlohy
v ekonomii jsou popsané pomocí stochastických diferenciálních rovnic, z nichž lze
někdy (jako například u Black–Scholesova modelu) přejít k rovnicím determinis-
tickým. Takových aplikací se dá nalézt mnoho a není naším cílem je podrobně
komentovat.

Viděli jsme tedy, že matematická analýza má stále co říci i k relativně jednodu-

chým fyzikálním modelům a že rozhodně není pravdivý názor, že vše v matematice
je již známo a nemá cenu se jí příliš věnovat, stačí se jen něco málo naučit a pak
to nějak (občas i poněkud nepřesně) používat. Fyzikální modely nejsou vždy ta-
kové, aby příslušné problémy byly (jednoznačně) řešitelné, jak se mnozí fyzikové
domnívají.

12

KAPITOLA 1. MOTIVAČNÍ ÚVOD

1.2

Pár poznámek k historii matematické analýzy

Protože se budeme velmi často setkávat se jmény slavných matematiků a fyziků
(zejména v názvech vět), je vhodné si říci pár slov o tom, jak se ta část matematiky,
kterou nazýváme matematickou analýzou, vyvíjela v minulosti, a kteří významní
vědci k jejímu rozvoji přispěli nejvíce.

Matematická analýza se v dnešním pojetí věnuje především vlastnostem funkcí.

Než však matematika dospěla vůbec k pojmům funkce, derivace a integrál, ura-
zila pořádný kus cesty. My si všimneme jen těch kroků, které k rozvoji nástrojů
matematické analýzy přispěly nejvýrazněji.

Pojmy blízké integrálu se objevují ve starověkém Egyptě i Mezopotámii v sou-

vislosti s potřebou měřit obsahy a objemy. Později řecká matematika tyto přístupy
zdokonalila, zkoumala např. obsahy či objemy pomocí postupného vyplňování jed-
noduchými útvary. Odtud také pochází odhady čísla π.

Již v 6.–5. století př.n.l. řecká škola pythagorejců dospěla k závěru, že ne ka-