Matematická analýza - skripta

Výroky jsou často doprovázeny kvantifikátory. Používáme

Označení 2.1.4. Obecný kvantifikátor: ∀x ∈ M

P (x) (pro každý prvek x z mno-

žiny M platí výrok P (x)).
Existenční kvantifikátor: ∃x ∈ M

P (x) (existuje prvek x z množiny M takový,

že platí výrok P (x)).
Budeme také používat kvantifikátor jednoznačné existence značený ∃!.

V následujícím příkladu (stejně jako v několika dalších) pracujeme s některými

číselnými obory. Předpokládáme, že čtenář má o nich jistou představu ze střední
školy. Připomeňme, že N označuje přirozená čísla, Z čísla celá, Q čísla racionální,
R čísla reálná a C čísla komplexní. Znak ∈ čteme z, tj. x ∈ M znamená x z M .
Blíže si značení související s pojmem množina připomeneme níže.

Příklad 2.1.5. Výrok ∃n ∈ N

√

n ∈ N je pravdivý výrok (lze vzít třeba n = 4).

Naopak, výrok ∀n ∈ N

√

n ∈ N je nepravdivý (uvažme například n = 2).

Při skládání kvantifikátorů lze prohodit dva ze sebou stojící stejné kvantifiká-

tory, nikoliv dva různé.

Příklad 2.1.6. (i) (∀x < 0 ∀y > 0

x < y) ⇐⇒ (∀y > 0 ∀x < 0

x < y)

(ii) (∀n ∈ N ∃m ∈ N n < m) není ekvivalentní s (∃m ∈ N ∀n ∈ N n < m).

Snadno se nahlédne, že platí následující vztahy pro negaci výroku s kvantifi-

kátorem.

2.1. OPAKOVÁNÍ ZE SŠ

17

Tvrzení 2.1.7. Platí:
(i) non ∃x ∈ M

P (x)

⇐⇒ ∀x ∈ M

non P (x)

(ii) non ∀x ∈ M

P (x)

⇐⇒ ∃x ∈ M

non P (x)

.

Ukažme, například, že platí první ekvivalence, druhou pak ponecháme čtenáři

k samostatnému rozmyšlení. Nechť je výrok non ∃x ∈ M

P (x)

pravdivý. Pak

neexistuje žádné x ∈ M tak, že P (x) je pravda, tj. ∀x ∈ M je P (x) nepravdivý.
Analogicky se ukáže i druhá implikace.

Dvouhodnotová logika pracuje s následujícími zákony:

zákon sporu: pro žádný výrok A není zároveň pravda A a non A
zákon vyloučení třetího: pro každý výrok A je buď A nebo non A pravdivé.

Poznámka 2.1.8. Výše uvedené zákony jsou naší dohodou, že nebudeme používat
výroky typu:

To, co teď říkám, není pravda.

Následující tvrzení plyne okamžitě z definic v pravdivostní tabulce (otestují se

všechny volby pravdivosti výroků A, B, C).

Tvrzení 2.1.9. Platí:
(i) A =⇒ A
(ii) (A =⇒ B) ∧ (B =⇒ C)

=⇒ (A =⇒ C)

(iii) A ⇐⇒ A
(iv) (A ⇐⇒ B) ⇐⇒ (B ⇐⇒ A)
(v) (A ⇐⇒ B) ∧ (B ⇐⇒ C)

=⇒ (A ⇐⇒ C)

(vi) non(non A) ⇐⇒ A
(vii) (A =⇒ B) ⇐⇒ (non B =⇒ non A)
(viii) (A ⇐⇒ B) ⇐⇒ (non A ⇐⇒ non B)
(ix) (A ⇐⇒ B) ⇐⇒ (A =⇒ B ∧ B =⇒ A)
(x) non(A ∨ B) ⇐⇒ (non A ∧ non B)
(xi) non(A ∧ B) ⇐⇒ (non A ∨ non B)
(xii) non(A =⇒ B) ⇐⇒ (A ∧ non B)
(xiii) non(A ⇐⇒ B) ⇐⇒ (A ∧ non B) ∨ (non A ∧ B)

.

Ukažme alespoň platnost (ix), ostatní ponecháme čtenáři k samostatnému roz-

myšlení. Máme

A

B

A ⇐⇒ B

A =⇒ B

B =⇒ A

A =⇒ B ∧ B =⇒ A