Matematická analýza - skripta

Příklad 2.2.2. (i) Snadno se ověří, že v případě X = R symbol ≤ s obvyklým
významem (ze střední školy) splňuje předchozí definici.
(ii) Na X = R

2 můžeme zavést částečné uspořádání předpisem

(x1, x2) ≤ (y1, y2)

⇐⇒

x1 ≤ y1 ∧ x2 ≤ y2.

Toto uspořádání však není úplné, neboť neumíme porovnat například prvky (0, 1)
a (1, 0).
(iii) Pokud na X = R

2 definujeme velikost vektoru jako k(x1, x2)k =

px2

1 + x

2

2 a

zavedeme

(x1, x2) ≤ (y1, y2)

⇐⇒

k(x1, x2)k ≤ k(y1, y2)k,

výsledná relace není uspořádáním, neboť chybí antisymetrie (stačí uvážit k(0, 1)k =
1 = k(1, 0)k).

Ostatní často používané relace se definují následovně

x < y ⇐⇒ x ≤ y ∧ x 6= y

x ≥ y ⇐⇒ y ≤ x

x > y ⇐⇒ y ≤ x ∧ x 6= y.

Definice 2.2.3 (Omezenost shora a zdola). Nechť A je množina s úplným uspo-
řádáním a B ⊂ A. Řekneme, že množina B je omezená shora, jestliže existuje její
horní závora v A (∃y ∈ A

x ∈ B =⇒ x ≤ y). Řekneme, že množina B je omezená

zdola, jestliže existuje její dolní závora v A (∃y ∈ A

x ∈ B =⇒ x ≥ y). Řekneme,

že množina B je omezená, jestliže je omezená shora i zdola.

K nejdůležitějším pojmům v matematické analýze patří maximum a minimum.

Připomeňme si jejich definici.

Definice 2.2.4 (Maximum a minimum). Nechť A je množina s úplným uspořádá-
ním a B ⊂ A. Prvek M ∈ B nazveme maximem množiny B (píšeme M = max B),
jestliže je horní závorou této množiny (x ∈ B =⇒ x ≤ M ). Prvek m ∈ B nazveme
minimem množiny B (píšeme m = min B), jestliže je dolní závorou této množiny
(x ∈ B =⇒ x ≥ m).

2.2. ČÍSELNÉ OBORY

25

Jak uvidíme na příkladech uvedených níže, obecně se může stát, že množina

maximum nemá, stejně tak minimum. V takové situaci nám srovnatelně kvalitní
informaci o velikosti prvků množiny poskytují pojmy supremum a infimum.

Definice 2.2.5 (Supremum a infimum). Nechť A je množina s úplným uspořádá-
ním a B ⊂ A. Prvek S ∈ A nazveme supremem B (píšeme S = sup B), jestliže je
nejmenší horní závorou množiny B, nebo-li
• x ∈ B =⇒ x ≤ S (S je horní závora)
• (y ∈ A ∧ y < S) =⇒ (∃x ∈ B

x > y) (zmenšíme-li S, už nebude horní závorou).

Prvek s ∈ A nazveme infimem B (píšeme s = inf B), jestliže je největší dolní
závorou množiny B, nebo-li
• x ∈ B =⇒ x ≥ s (s je dolní závora)
• (y ∈ A ∧ y > s) =⇒ (∃x ∈ B

x < y) (zvětšíme-li s, už nebude dolní závorou).

Následující úloha pracuje s reálnými čísly na základě středoškolských představ.

Axiomatické zavedení bude o kousek níže.

Úloha 2.2.6. Nechť B = [0, 1) ⊂ R. Nalezněte max B, min B, sup B a inf B,
pokud existují. Je množina B omezená?

Řešení:

Omezenost plyne ze skutečnosti, že 0 ≤ x ≤ 1 pro všechna x ∈ B.

Protože 0 ∈ B, z předchozího odhadu také plyne, že 0 = min B. Ukažme, že
neexistuje max B. Pokud by existovalo M = max B, muselo by platit M ∈ B, a
proto 0 ≤ M < 1. Potom ale máme