Matematická analýza - skripta

[a, +∞) = {x ∈ R : x ≥ a}

(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}

(−∞, a) = {x ∈ R : x < a}

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

(−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a}

(−∞, +∞) = R.

Poznámka 2.2.13. (i) Symbol +∞ se často zkracuje na ∞. Druhý symbol je však
používán v teorii komplexních čísel (později si připomeneme, že komplexní čísla

2.2. ČÍSELNÉ OBORY

27

mají jen jedno nekonečno). Výše uvedené zkrácení je tedy nevhodné v textech, kde
se zároveň pracuje s reálnými a komplexními čísly.
(ii) Často se také vynechává symbol · pro násobení. Pokud tento symbol zastává
úlohu skalárního součinu ve vyšší dimenzi (připomeňme, že násobení reálných čísel
je jednodimenzionální verzí skalárního součinu), nevynechává se. Dále se někdy
namísto · píše hůře přehlédnutelný znak ×.
(iii) Potřebujeme-li matematickou formuli přerušit kvůli přechodu na nový řádek
v místě symbolu jako třeba =, ≥, + a ·, symbol přesouváme na nový řadek.

Označení 2.2.14. Je-li x ∈ R, jeho celou část [x] definujeme jako největší celé
číslo splňující [x] ≤ x. Pak nutně [x] ≤ x < [x] + 1.

Ještě se na chvilku vraťme k Úloze 2.2.6. Zde mělo jistě mnoho čtenářů silné

nutkání neověřovat výsledky inf B = 0 a sup B = 1 přímo z definice, nýbrž použít
intuitivní představu vyplývající ze zkušenosti vytvořené na jednoduchých úlohách,
že například supremum je v podstatě maximum, přidáme-li do množiny správný
bod (který se navíc přirozeně sám nabízí). Před tímto přístupem však musíme
čtenáře varovat. Intuitivní představa totiž nemusí odpovídat skutečné definici ve
složitějších situacích, a proto v důkazech zásadně používáme pouze přesné definice
a již dokázané výsledky (dlužno ovšem podotknout, že vědecké výsledky vznikají
tak, že si autor na základě jednoduchých situací a geometrických představ nej-
prve vytvoří jakousi pracovní hypotézu, často i základní strategii důkazu, nicméně
finální verze článku je již zpracována matematicky zcela korektně). Druhou nevý-
hodou onoho povrchního přístupu při řešení snadných úloh je, že si řešitel patřičně
neosvojí základní techniky, které jsou při řešení obtížných úloh nezbytné.

Pasáž o supremu a infimu zakončíme několika obtížnějšími úlohami.

Úloha 2.2.15. Nechť A, B ⊂ R jsou neprázdné shora omezené množiny (pak mají
supremum podle (C1) z definice reálných čísel). Zabývejte se otázkou vyjádření
veličin sup(A ∪ B) a sup(A ∩ B) pomocí sup A a sup B.

Řešení:

Nejprve se zabývejme veličinou sup(A ∪ B). Ukážeme, že

sup(A ∪ B) = max{sup A, sup B}.

Předně množina A ∪ B je shora omezená, má tedy supremum. Nyní si uvědomíme,
že inkluze A ⊂ (A ∪ B) má za následek, že sup(A ∪ B) je jednou z horních závor
množiny A, a proto sup A ≤ sup(A ∪ B). Analogická úvaha s množinou B vede na