Matematická analýza - skripta

e

x = ϕ−1(ϕ(x)). To znamená

ϕ(

e

x) = ϕ(x) a prostota ϕ zaručuje, že

e

x = x. Rovnost ϕ(ϕ−1(x)) = x se dokáže

podobně s využitím prostoty ϕ−1.

2.2. ČÍSELNÉ OBORY

23

Zbývá dokázat část (iii). Protože obecně platí Dϕ−1 = Rϕ a navíc Rϕ−1 = Dϕ,

máme

D(ϕ−1)−1 = Rϕ−1 = Dϕ.

Konečně, poslední požadovaná rovnost plyne z toho, že

(ϕ

−1)−1(x) = y ⇐⇒ x = ϕ−1(y) ⇐⇒ ϕ(x) = y.

Příklad 2.1.33. Při používání druhé části Tvrzení 2.1.32 je nutné pečlivě hlídat
definiční obory výsledných identit. Vezmeme-li například funkci x2 : R

+
0

→ R

+
0 ,

její inverzí je funkce x 7→

√

x, x ∈ R

+
0 . Platí

(

√

x)

2 = x

pro x ∈ R

+
0 .

Na druhou stranu x 7→

√

x2 je definována na celém R a platí

√

x2 = |x|

pro x ∈ R,

přičemž |x| = x pro x ∈ R

+
0 , |x| = −x pro x ∈ R

−.

Tvrzení 2.1.34. Nechť ϕ, ψ jsou prostá zobrazení a Dψ ∩ Rϕ 6= ∅. Pak ψ ◦ ϕ je
prosté zobrazení.

Důkaz. Použijeme ekvivalentní podmínku pro prostotu. Nechť x1, x2 ∈ Dψ◦ϕ
splňují ψ(ϕ(x1)) = ψ(ϕ(x2)). Protože ψ je prosté, musí nutně platit ϕ(x1) = ϕ(x2).
Protože dále ϕ je prosté, dostáváme x1 = x2. Tedy ψ ◦ ϕ je prosté.

Definice 2.1.35 (Graf zobrazení). Nechť ϕ : A → B je zobrazení. Potom se
množina {(x, ϕ(x)) : x ∈ Dϕ} nazývá grafem zobrazení.

Pokud B = R, definujeme jestě nadgraf {(x, y) ∈ R

2 : x ∈ Dϕ ∧ y ≥ ϕ(x)} a

podgraf {(x, y) ∈ R

2 : x ∈ Dϕ ∧ y ≤ ϕ(x)}.

2.2

Číselné obory

Jak již bylo zmíněno výše, předpokládáme, že čtenář má ze střední školy intuitivní
představu o tom, co je množina přirozených, celých, racionálních a především reál-
ných čísel, popřípadě i čísel komplexních. Ukážeme si, jak je možno matematicky
přesně tyto číselné obory definovat, budeme ale postupovat trochu jinak, než by
mohl čtenář očekávat. Nejprve budeme definovat čísla reálná a teprve z nich vy-
vodíme další číselné obory. Lze postupovat i opačně, tj. začít přirozenými čísly
a z nich postupně přes čísla racionální metodou Dedekindových řezů dospět až
k číslům reálným, viz například [Ja DPI]. Tento postup je ale poněkud zdlouhavý,
a proto ho zde nebudeme používat; raději představíme axiomatický způsob zave-
dení reálných čísel.

24

KAPITOLA 2. MATEMATICKÝ ÚVOD

2.2.1

Supremum a infimum, axiomatické zavedení reálných
čísel

Relací na X ×X rozumíme libovolnou podmnožinu X ×X. Nás ale zajímá speciální
třída relací.

Definice 2.2.1 (Uspořádání). Nechť X je množina. Relaci R na X × X nazveme
(částečným) uspořádáním, jestliže
(i) x ∈ X =⇒ (x, x) ∈ R (reflexivita)
(ii) (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R =⇒ (x, z) ∈ R (tranzitivita)
(iii) (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R =⇒ x = y (antisymetrie).
Pokud navíc platí

x, y ∈ X =⇒ (x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R,

relaci R nazveme úplným uspořádáním a značíme ji symbolem ≤ (tedy x ≤ y ⇐⇒
(x, y) ∈ R).