Matematická analýza - skripta

sup(A ∪ B) ≥ max{sup A, sup B}.

Dokažme obrácenou nerovnost. Zvolme libovolné S > max{sup A, sup B}. Vezme-
me-li nyní e

S jako střed intervalu (max{sup A, sup B}, S), pak e

S je horní závorou

množiny A ∪ B, a proto S nesplňuje druhou vlastnost suprema. Protože číslo
S > max{sup A, sup B} bylo libovolné, dostáváme zbývající nerovnost

sup(A ∪ B) ≤ max{sup A, sup B}.

28

KAPITOLA 2. MATEMATICKÝ ÚVOD

Nyní se zabývejme hodnotou sup(A ∩ B). Tvrdíme, že pokud existuje, pak

sup(A ∩ B) ≤ min{sup A, sup B}.

(2.2.1)

Důkaz této nerovnosti se snadno získá výše podrobně zdůvodněným argumentem,
že supremum podmnožiny je shora odhadnuto supremem nadmnožiny, aplikova-
ným na (A ∩ B) ⊂ A a (A ∩ B) ⊂ B.

Obecně supremum průniku existovat nemusí (bereme-li supremum vůči R),

stačí si vzít A, B disjunktní. Volba A = (0, 1) ∪ (9, 10) a B = (0, 1) ∪ (8, 9) ukazuje
i v případě existence suprema průniku, že toto supremum může být velmi vzdálené
hodnotě min{sup A, sup B}. Na druhou stranu odhad (2.2.1) je nejlepší možný, jak
ukazuje volba B = A.

I

Úloha 2.2.16. Nechť A ⊂ R. Definujme −A := {−x : x ∈ A}. Ukažte, že sup A
existuje v R právě tehdy, když v R existuje inf(−A). Navíc v takovém případě
inf(−A) = − sup A.

Řešení:

Nechť existuje S = sup A ∈ R. Pak pro všechna x ∈ A platí x ≤ S,

neboli −S ≤ −x, tedy −S je dolní závora −A. Číslo −S dále splňuje druhou
vlastnost infima. Vskutku, kdyby tomu tak nebylo, existovalo by ε > 0 takové, že
−S + ε by bylo dolní závorou −A. To zase implikuje, že S − ε je horní závorou A
a proto S není supremem. Tím je dokázáno, že inf(−A) = − sup A (a existuje).

Obrácená implikace se ukáže analogicky.

I

Poznámka 2.2.17. Výsledek předchozího problému nám s ohledem na (C1) z de-
finice reálných čísel říká, že je-li množina omezená zdola, má infimum v R.

V další úloze budeme uvažovat f, g : (0, 1) → R (definiční obor bude celý

interval (0, 1)) a budeme používat zkrácené značení typu sup f = sup

(0,1) f =

sup

x∈(0,1) f (x) = sup{f (x) : x ∈ (0, 1)}.

Úloha 2.2.18. Nechť f, g : (0, 1) → R jsou dvě funkce. Je nějaký vztah mezi
veličinami sup(f + g) a sup f + sup g?

Řešení:

Z definice suprema máme f (x) ≤ sup f a g(x) ≤ sup g pro všechna

x ∈ (0, 1), tedy f (x) + g(x) ≤ sup f + sup g pro všechna x ∈ (0, 1), a proto

sup(f + g) ≤ sup f + sup g.

Tento odhad se nedá vylepšit, jak ukazuje volba f ≡ 1 ≡ g. V odhadu obecně
neplatí rovnost, jak ukazuje volba f (x) = x a g(x) = 1 − x. Pak totiž

sup f = sup g = sup(f + g) = 1.

I

2.2. ČÍSELNÉ OBORY

29

2.2.2

Přirozená, celá a racionální čísla

Definice 2.2.19 (Přirozená čísla). Množinu přirozených čísel N definujeme jako
nejmenší podmnožinu R s vlastnostmi
(i) 1 ∈ N
(ii) n ∈ N =⇒ n + 1 ∈ N.

Označení 2.2.20. Často značíme N0 = N ∪ {0}.

Poznámka 2.2.21. Zřejmě N je zdola omezená množina. Tuto vlastnost má i
každá podmnožina N.