Matematická analýza - skripta

zentace výsledku. Jedna možnost je důkaz sepsat tak, jak jsme problém řešili.
Druhá možnost je důkaz sepsat tak, aby čtenář byl schopen co nejrychleji ověřit
pravdivost našeho závěru. Oba přístupy mají své výhody a nevýhody. Ukážeme si
je na následující úloze.

Úloha 2.2.29. Pomocí matematické indukce ukažte, že existuje n0 ∈ N takové,
že pro n ∈ N ∩ [n0, ∞) platí n

2 < 2n. Nalezněte minimální n0, aby nerovnost pro

daná n platila.

Nejprve ukážeme podrobný postup řešení sledující autorovy úvahy.

Řešení:

Zřejmě platí 1 = 12 < 2 = 21. Pokusíme se tedy nerovnost dokázat pro

všechna n ∈ N. Přistupme k indukčnímu kroku. Předpokládejme, že platí n

2 < 2n.

Chceme ukázat (n + 1)2 < 2n+1. Podle (2.2.3) nám tedy stačí ukázat, že pro
všechna n ∈ N platí

(n + 1)

2 − n2 ≤ 2n+1 − 2n,

což je totéž jako

2n + 1 ≤ 2

n.

(2.2.4)

Tuto nerovnost dokážeme indukcí. Nerovnost (2.2.4) neplatí pro n = 1 (3 > 2),
n = 2 (5 > 4) a platí pro n = 3 (7 < 8). Pokusíme se ji tedy dokázat pro n ≥ 3.
První krok důkazu jsme již učinili, zbývá indukční krok. Podle (2.2.2) nám stačí
ukázat, že pro n ≥ 3 máme

2 = (2n + 3) − (2n − 1) ≤ 2

n+1 − 2n = 2n.

2.2. ČÍSELNÉ OBORY

31

Poslední nerovnost už platí pro všechna n ∈ N, proto jsme dokázali, že nerov-
nost (2.2.4) platí pro n ≥ 3. Připomeňme, že díky tomu máme

n

2 < 2n =⇒ (n + 1)2 < 2n+1

pro všechna n ≥ 3.

Tento výsledek však nemůžeme kombinovat s tím, že jsme na začátku důkazu
ověřili, že nerovnost platí pro n = 1. Přirozené je otestovat platnost nerovnosti
pro n = 3. Máme

3

2 = 9 > 8 = 23.

Dokazovaná nerovnost tedy pro n = 3 neplatí a důkaz indukcí stále nemůžeme
použít. Stačí ale najít první n0 ≥ 3 pro které nerovnost platí. Pro n = 4 nerovnost
neplatí (42 = 16 = 24), ale pro n = 5 už nerovnost platí (52 = 25 < 32 =
25), a proto podle indukčního kroku (platného pro n ≥ 3) dostáváme platnost
požadované nerovnosti pro n ≥ 5. Pokud si ještě dosadíme n = 2, dostaneme
22 = 22. Celkově jsme tedy zjistili, že nerovnost n2 < 2n platí právě tehdy, když

n ∈ {1} ∪ {n ∈ N : n ≥ 5}.

I

Právě použitý přístup k řešení úlohy se často používá v učebnicích. Má totiž

výhodu v tom, že studentům přiblíží myšlenkové pochody řešitele a studenti jsou
pak schopni sami tyto myšlenky používat v podobných úlohách. Přístup má však
i své nevýhody. Jednak zdržuje čtenáře, který si chce přečíst jen výsledek a ověřit
jeho správnost (málokoho bude zajímat naše tápání pro n = 3). Druhá nevýhoda
spočívá v tom, že student po čase získává dojem, že správné řešení má vypadat
takto (připomeňme, že správné řešení obsahuje výsledek a důkaz jeho správnosti,
pedagogické poznámky tam být nemusí).

Opačným extrémem je důkaz upravený tak, aby se co nejlépe četl. Ukažme si

ale nejprve verzi, ve které využijeme toho, že už víme, jak příklad dopadne. Důkaz
bude elegantnější, zároveň v něm ale ponecháme hlavní myšlenky.