Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
z1 − iz2
(z1 + iz2)(z1 − iz2)
=
z1 − iz2
z2
1 + z
2
2
=
z1
z2
1 + z
2
2
− i
z2
z2
1 + z
2
2
.
40
KAPITOLA 2. MATEMATICKÝ ÚVOD
(v) Poznamenejme, že ani vektorový součin na R
2 ani skalární součin nemají ana-
logické vlastnosti jako násobení, které jsme právě zavedli. Vektorový součin napří-
klad není komutativní, skalární součin zase přiřazuje vektorům skalár.
(vi) Na množině C se nedá zavést úplné uspořádání, které by splňovalo (O1)
až (O3) z definice reálných čísel. Skutečně, pokud by platilo i > (0, 0) = 0, měli
bychom
0 > −i = i
3 = i · i · i > 0,
což je spor. Naopak, v případě i < 0 máme spor díky
−i > 0
=⇒
i = (−i)
3 > 0.
Definice 2.2.53 (Velikost komplexního čísla). Nechť z = z1 + iz2 ∈ C. Velikostí
komplexního čísla z je nezáporné reálné číslo
|z| :=
q
z2
1 + z
2
2 .
Kolize se značením absolutní hodnoty u reálného čísla nehrozí, neboť pro x ∈
R máme
√
x2 = |x| jak ve smyslu absolutní hodnoty, tak ve smyslu velikosti
komplexního čísla.
Tvrzení 2.2.54. Nechť z, w ∈ C. Potom platí:
(i) |z| ≥ 0 a |z| = 0 ⇐⇒ z = 0
(ii) | Re z| ≤ |z| a | Im z| ≤ |z|
(iii) |zw| = |z||w| a |
z
w | =
|z|
|w| pro w 6= 0
(iv) |z + w| ≤ |z| + |w|
(v) ||z| − |w|| ≤ |z − w|.
Důkaz. První dvě tvrzení jsou zřejmá. Dokažme třetí. Začneme s velikostí součinu
|zw| = |(z1 + iz2)(w1 + iw2)| = |z1w1 − z2w2 + i(z1w2 + z2w1)|
=
p
(z1w1 − z2w2)2 + (z1w2 + z2w1)2
=
q
z2
1 w
2
1 − 2z1z2w1w2 + z
2
2 w
2
2 + z
2
1 w
2
2 + 2z1z2w1w2 + z
2
2 w
2
1
=
q
z2
1 w
2
1 + z
2
2 w
2
2 + z
2
1 w
2
2 + z
2
2 w
2
1
=
q
(z2
1 + z
2
2 )(w
2
1 + w
2
2 ) = |z||w|.
Dále, protože si můžeme přepsat |
z
w | = |z
1
w | a tvrzení o velikosti součinu jsme již
dokázali, stačí nám dokázat |
1
w | =
1
|w| , což snadno ověříme rozšířením zlomku
1
w
=
w1 − iw2
(w1 + iw2)(w1 − iw2)
=
w1 − iw2
w2
1 + w
2
2
=
1
|w|2
(w1 − iw2)
=
1
|w|2
|w1 − iw2| =
1
|w|2
q
w2
1 + w
2
2 =
1
|w|
.
2.2. ČÍSELNÉ OBORY
41
Dokažme předposlední tvrzení. Rozepsání po složkách a první Cauchy–Schwarzova
nerovnost dávají
|z + w|2 = (z1 + w1)
2 + (z
2 + w2)
2 = z2
1 + w
2
1 + z
2
2 + w
2
2 + 2(z1w1 + z2w2)
≤ |z|2 + |w|2 + 2
q
z2
1 + z
2
2
q
w2
1 + w
2
2 = (|z| + |w|)
2.
Poslední tvrzení se získá z předposledního, stačí jen zopakovat postup z důkazu
trojúhelníkové nerovnosti.
Definice 2.2.55 (Komplexně sdružené číslo). Nechť z = z1 + iz2 ∈ C. Pak kom-
plexní číslo z = z1 − iz2 nazveme číslem komplexně sdruženým k číslu z.
Tvrzení 2.2.56. Nechť z, w ∈ C a n ∈ N. Potom platí:
(i) z = z, |z| = |z|
(ii) zz = |z|2
(iii)
1
z =
z
|z|2 pro z 6= 0
(iv) z + w = z + w
(v) zw = z w
(vi) (
z
w ) =
z
w pro w 6= 0
(vii) zn = zn.
Důkaz. Důkazy tvrzení (i) a (iv) jsou triviální, (ii) a (iii) se snadno ověří výpočtem
(dokonce jsme obojí viděli v důkazu předchozího tvrzení). Páté tvrzení plyne z
zw = z1w1 − z2w2 + i(z1w2 + z2w1) = z1w1 − z2w2 − i(z1w2 + z2w1)